量词中的非零向量

Question

我想验证以下形式的公式：

Exists p . ForAll x != 0 . f(x, p) > 0

一个实现（不起作用）如下：

def f0(x0, x1, x, y):
    return x1 ** 2 * y + x0 ** 2 * x

s = Solver()
x0, x1 = Reals('x0 x1')
p0, p1 = Reals('p0 p1')

s.add(Exists([p0, p1], 
                ForAll([x0, x1], 
                          f0(x0, x1, p0, p1) > 0
                      )
            ))
#s.add(Or(x0 != 0, x1 != 0))

while s.check() == sat:
    m = s.model()
    m.evaluate(x0, model_completion=True)
    m.evaluate(x1, model_completion=True)
    m.evaluate(p0, model_completion=True)
    m.evaluate(p1, model_completion=True)
    print m
    s.add(Or(x0 != m[x0], x1 != m[x1]))

公式不满足。

使用f0() >= 0，唯一的输出是(0, 0)。

我想要f0() > 0并约束(x0, x1) != (0, 0)。

我期望的是：例如 p0, p1 = 1, 1 或 2, 2，但我不知道如何从 x0, x1 的可能值中删除 0, 0 .

Answer 1

您只需将其写为量化中的蕴涵即可。我认为您还混淆了其中的一些变量。以下内容似乎抓住了您的意图：

from z3 import *

def f0(x0, x1, x, y):
    return x1 * x1 * y + x0 * x0 * x

s = Solver()
p0, p1 = Reals('p0 p1')

x0, x1 = Reals('x0 x1')
s.add(ForAll([x0, x1], Implies(Or(x0 != 0, x1 != 0), f0(x0, x1, p0, p1) > 0)))

while True:
    res = s.check()
    print res
    if res == sat:
        m = s.model()
        print m
        s.add(Or(p0 != m[p0], p1 != m[p1]))
    else:
        print "giving up"
        break

当然，z3 不保证能为您找到任何解决方案；虽然它似乎管理一个：

$ python a.py
sat
[p1 = 1, p0 = 1]
unknown
giving up

一旦你使用量词，所有的赌注都会被取消，因为逻辑变得半可判定。 Z3 在这里做得很好并返回一个解决方案，然后它放弃了。我不认为你可以期待更好的东西，除非你使用一些自定义决策程序。

Answer 2

正在跟进 Levent 的回复。在第一次检查期间，Z3 使用与量词一起使用的自定义决策程序。在增量模式下，它会退回到不是决策过程的东西。要强制使用一次性求解器，请尝试以下操作：

from z3 import *

def f0(x0, x1, x, y):
    return x1 * x1 * y + x0 * x0 * x

p0, p1 = Reals('p0 p1')

x0, x1 = Reals('x0 x1')
fmls = [ForAll([x0, x1], Implies(Or(x0 != 0, x1 != 0), f0(x0, x1, p0, p1) > 0))]

while True:
    s = Solver()
    s.add(fmls)
    res = s.check()
    print res
    if res == sat:
        m = s.model()
        print m
        fmls += [Or(p0 != m[p0], p1 != m[p1])]
    else:
       print "giving up"
       break

量词中的非零向量

Nonzero vector in quantifier

solver

z3

z3py