SymPy 无法计算此矩阵的特征值

Question

我想计算拉普拉斯矩阵的第二个特征值来检查相应的图是否连通，但是当我尝试使用 SymPy 的 eigenvals 时，很多时候它会抛出一个错误

MatrixError: Could not compute eigenvalues for 
Matrix([[1.00000000000000, 0.0, 0.0, 0.0, -1.00000000000000, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], 
        [0.0, 1.00000000000000, 0.0, 0.0, 0.0, -1.00000000000000, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], 
        [0.0, 0.0, 1.00000000000000, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, -1.00000000000000, 0.0], 
        [0.0, 0.0, 0.0, 1.00000000000000, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, -1.00000000000000, 0.0], 
        [-1.00000000000000, 0.0, 0.0, 0.0, 1.00000000000000, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], 
        [0.0, -1.00000000000000, 0.0, 0.0, 0.0, 3.00000000000000, 0.0, 0.0, -1.00000000000000, -1.00000000000000], 
        [0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], 
        [0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.00000000000000, 0.0, -1.00000000000000], 
        [0.0, 0.0, -1.00000000000000, -1.00000000000000, 0.0, -1.00000000000000, 0.0, 0.0, 3.00000000000000, 0.0], 
        [0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, -1.00000000000000, 0.0, -1.00000000000000, 0.0, 2.00000000000000]])

环顾四周，我发现由于 SymPy 进行符号计算，因此浮点数可能是一个问题。所以我尝试了：

降低浮点数的精度Float(tmp[i][j], 3)，但没有用。
我曾尝试将浮点数转换为 Rational list(map(nsimplify, tmp[i]))，但没有帮助。
我曾尝试将浮点数转换为整数 list(map(int, tmp[i]))，但都无济于事。

我真的不明白为什么它不起作用，即使我将每个元素都转换为 int。

Answer 1

由于拉普拉斯算子是整数矩阵，所以我们使用整数：

L = Matrix([[ 1,  0,  0,  0, -1,  0, 0,  0,  0,  0],
            [ 0,  1,  0,  0,  0, -1, 0,  0,  0,  0],
            [ 0,  0,  1,  0,  0,  0, 0,  0, -1,  0],
            [ 0,  0,  0,  1,  0,  0, 0,  0, -1,  0],
            [-1,  0,  0,  0,  1,  0, 0,  0,  0,  0],
            [ 0, -1,  0,  0,  0,  3, 0,  0, -1, -1],
            [ 0,  0,  0,  0,  0,  0, 0,  0,  0,  0],
            [ 0,  0,  0,  0,  0,  0, 0,  1,  0, -1],
            [ 0,  0, -1, -1,  0, -1, 0,  0,  3,  0],
            [ 0,  0,  0,  0,  0, -1, 0, -1,  0,  2]])

计算特征值：

>>> L.eigenvals()
{0: 3, 1: 1, 2: 1}

这很奇怪，因为矩阵是 10×10，而不是 5×5。

我试图计算 Jordan 范式，但无法计算，因为函数 jordan_form 产生了错误消息 IndexError: list index out of range。

计算特征多项式：

>>> s = Symbol('s')
>>> p = (s * eye(10) - L).det()
>>> p
s**10 - 14*s**9 + 77*s**8 - 214*s**7 + 321*s**6 - 256*s**5 + 99*s**4 - 14*s**3

注意最低次的单项式是三次的。这使我们可以得出结论，特征值 0 的重数为 3，因此，该图 未连接。

让我们尝试找到特征多项式的根：

>>> solve(p,s)
[0, 0, 0, 1, 2, CRootOf(s**5 - 11*s**4 + 42*s**3 - 66*s**2 + 39*s - 7, 0), CRootOf(s**5 - 11*s**4 + 42*s**3 - 66*s**2 + 39*s - 7, 1), CRootOf(s**5 - 11*s**4 + 42*s**3 - 66*s**2 + 39*s - 7, 2), CRootOf(s**5 - 11*s**4 + 42*s**3 - 66*s**2 + 39*s - 7, 3), CRootOf(s**5 - 11*s**4 + 42*s**3 - 66*s**2 + 39*s - 7, 4)]

请注意，实际上只找到了 5 个根（eigenvals 也只产生了 5 个特征值）。 5个缺失的根是五次s**5 - 11*s**4 + 42*s**3 - 66*s**2 + 39*s - 7.

的根

自 19 世纪以来人们就知道，并非所有 5 次（或更高次）多项式的根都可以用算术运算和根表示。因此，我们可能要求 SymPy 完成不可能。最好使用 NumPy 计算 10 个特征值的近似值。

Answer 2

在增加 maxsteps 参数后，您可以使用 nroots 获得特征多项式所有 10 个根的数值近似值：

>>> p = s**10 - 14*s**9 + 77*s**8 - 214*s**7 + 321*s**6 - 256*s**5 + 99*s**4 - 14*s**3
>>> [i.n(2) for i in nroots(eq,maxsteps=100)]
[0, 0, 0, 0.32, 0.68, 1.0, 2.0, 2.1, 3.2, 4.6]

来自 solve(p, s) 的 CRootOf 个实例实际上也是解决方案，可以用数值计算：

>>> CRootOf(s**5 - 11*s**4 + 42*s**3 - 66*s**2 + 39*s - 7, 0).n(2)
0.32

SymPy 无法计算此矩阵的特征值

SymPy could not compute the eigenvalues of this matrix

python

matrix

symbolic-math

sympy

eigenvalue