如何从无冗余傅立叶变换（例如 PyTorch）到冗余（完整）傅立叶变换？

Question

在图像上使用 np.fft.fft2 时，结果与输入的大小相同。对于真实图像，真实到复杂的 FT 具有对称性，其中 ft[i,j] == ft[-i,-j].conj()，如中所述。为此，一些框架如 PyTorch 或 scikit-cuda，return 形状为 (height // 2 +1, width // 2 + 1) 的 FT。现在，给定一个 redundancy-free/one-sided FT，我如何使用 numpy index magic 将它映射到 numpy 的完整 FT 输出？

背景：我需要这个来翻译一些 numpy 代码。

Answer 1

如果您正在使用 torch.rfft，那么您可以设置 onesided=False 以获得完整的转换。

该文档没有说明输出的格式，最好的猜测是假设它 returns 元素的前半部分沿着最后一个维度，这意味着 ft[i,j]， i 在半开范围 [0,in.shape[0]), j 在半开范围 [0,in.shape[1]), 和in输入图片，可以这样读：

cutoff = in.shape[1] // 2 + 1
if j >= cutoff:
   return ft[-i, in.shape[1] - j].conj()
else:
   return ft[i, j]

如果您使用 skcuda.fft.fft，文档同样明确，因此我会做出与上述相同的猜测。

要从这些函数返回的半平面 DFT 中获得完整的 DFT，请使用以下代码：

import numpy as np

size = 6
halfsize = size // 2 + 1
half_ft = np.random.randn(size, halfsize) # example half-plane DFT

if size % 2:
   # odd size input
   other_half = half_ft[:, -1:0:-1]
else:
   # even size input
   other_half = half_ft[:, -2:0:-1]

other_half = np.conj(other_half[np.hstack((0, np.arange(size-1, 0, -1))), :])
full_ft = np.hstack((half_ft, other_half))

也就是说，我们沿两个维度翻转数组（这是二维情况，根据需要调整其他维度），但第一行和第一列（直流分量）不重复，并且对于偶数大小的输入，最后一行和最后一列也不重复。

Answer 2

终于成功使用np.meshgrid正确填写了相关数据。我们可以对整个行范围和列范围的缺失部分使用范围，以便只用适当的数据填充这些索引。

import numpy as np
np.random.seed(0)

N     = 10
image = np.random.rand(N, N)
h, w  = image.shape

ft           = np.fft.rfft2(image)
ft_reference = np.fft.fft2(image)
ft_full      = np.zeros_like(image, dtype=np.complex128)
ft_full[:ft.shape[0], :ft.shape[1]] = ft

X, Y          = np.meshgrid(range(h), range(w // 2 + 1, w), indexing='ij')
ft_full[X, Y] = ft_full[-X, -Y].conj()
print(np.allclose(ft_full, ft_reference))

如何从无冗余傅立叶变换（例如 PyTorch）到冗余（完整）傅立叶变换？

How do I go from redundancy-free Fourier Transform (e.g. PyTorch) to redundant (full) Fourier Transform?

python

numpy

fft

matrix-indexing