球算术与区间算术
Ball arithmetic vs interval arithmetic
ball arithmetic (Arb) over interval arithmetic (MPFI)有什么优点？
换句话说，将区间表示为[中心，半径]比[左，右]有什么优势？
这不是关于特定的库（Arb vs MPFI），而是关于特定表示的优势。
我特别感兴趣的是一种表示是否允许更快的算术运算（更少的原始操作）、更少的错误估计和更节俭的内存使用。
在任意精度算术中，球算术的速度大约是区间算术的两倍，而使用的数量是区间算术的一半 space。原因是球只有圆心需要高精度，而在区间运算中，两个端点都需要高精度。当然，细节取决于实施。 （实际上，Arb 比 MPFI 快两倍以上，但这主要是由于实施工作。）
在硬件算法中，球与区间相比并没有真正的速度优势，至少对于标量算法而言是这样。如果您查看球算术的更一般形式并考虑例如球矩阵作为浮点矩阵 + 某个范数中整个矩阵的误差界限的单个浮点数，则有一个明显的优势，而不是使用由单个间隔或球组成的矩阵。
Joris van der Hoeven 关于球算术的文章很好地解释了球算术和区间算术之间的区别：http://www.texmacs.org/joris/ball/ball.html
重要的引述是："Roughly speaking, balls should be used for the reliable approximation of numbers, whereas intervals are mainly useful for certified algorithms which rely on the subdivision of space."
忽略性能问题，球和间隔通常可以互换，尽管间隔更适合细分算法。从概念上讲，球很适合表示数字，因为中心-半径形式自然对应于我们对数学中近似值的看法。这个概念也自然地扩展到更一般的赋范向量 spaces.
就我个人而言，我经常将球算术视为浮点算术+错误分析，但错误边界传播由计算机自动完成，而不是手动完成。从这个意义上说，这是一种更好的浮点运算方法（对于某些应用程序！），而不仅仅是区间运算的更好方法。
对于单个数字的计算，错误高估更多地与算法有关，而不是与表示有关。 MPFI 保证它的所有原子函数都计算最紧密的可能间隔，但是一旦您开始组合函数，这个 属性 就不会被保留。无论是球算术还是区间算术，只要您 运行 具有许多相关步骤的计算，爆炸往往会以相同的方式发生。为了跟踪初始条件中较大不确定性导致的误差界限，泰勒模型等技术通常优于直接区间或球算术。
真正的复数球（复数中心 + 单半径）有时比矩形复数区间更好地表示复数，因为乘法的环绕效应更小。 （但是，Arb 对复数使用矩形 "balls"，因此它没有这种特殊优势。）
ball arithmetic (Arb) over interval arithmetic (MPFI)有什么优点？
换句话说，将区间表示为[中心，半径]比[左，右]有什么优势？
这不是关于特定的库（Arb vs MPFI），而是关于特定表示的优势。
我特别感兴趣的是一种表示是否允许更快的算术运算（更少的原始操作）、更少的错误估计和更节俭的内存使用。
在任意精度算术中，球算术的速度大约是区间算术的两倍，而使用的数量是区间算术的一半 space。原因是球只有圆心需要高精度，而在区间运算中，两个端点都需要高精度。当然，细节取决于实施。 （实际上，Arb 比 MPFI 快两倍以上，但这主要是由于实施工作。）
在硬件算法中，球与区间相比并没有真正的速度优势，至少对于标量算法而言是这样。如果您查看球算术的更一般形式并考虑例如球矩阵作为浮点矩阵 + 某个范数中整个矩阵的误差界限的单个浮点数，则有一个明显的优势，而不是使用由单个间隔或球组成的矩阵。
Joris van der Hoeven 关于球算术的文章很好地解释了球算术和区间算术之间的区别：http://www.texmacs.org/joris/ball/ball.html
重要的引述是："Roughly speaking, balls should be used for the reliable approximation of numbers, whereas intervals are mainly useful for certified algorithms which rely on the subdivision of space."
忽略性能问题，球和间隔通常可以互换，尽管间隔更适合细分算法。从概念上讲，球很适合表示数字，因为中心-半径形式自然对应于我们对数学中近似值的看法。这个概念也自然地扩展到更一般的赋范向量 spaces.
就我个人而言，我经常将球算术视为浮点算术+错误分析，但错误边界传播由计算机自动完成，而不是手动完成。从这个意义上说，这是一种更好的浮点运算方法（对于某些应用程序！），而不仅仅是区间运算的更好方法。
对于单个数字的计算，错误高估更多地与算法有关，而不是与表示有关。 MPFI 保证它的所有原子函数都计算最紧密的可能间隔，但是一旦您开始组合函数，这个 属性 就不会被保留。无论是球算术还是区间算术，只要您 运行 具有许多相关步骤的计算，爆炸往往会以相同的方式发生。为了跟踪初始条件中较大不确定性导致的误差界限，泰勒模型等技术通常优于直接区间或球算术。
真正的复数球（复数中心 + 单半径）有时比矩形复数区间更好地表示复数，因为乘法的环绕效应更小。 （但是，Arb 对复数使用矩形 "balls"，因此它没有这种特殊优势。）