具有向量的 3D 点的正射投影

Question

我有 3D 点，我需要将它们进行 2D 正交投影到由原点和法线定义的平面上 n。这个的意思基本上是从顶部看点（给定垂直向量）。我该怎么做？

我的想法是：

1. 将点 P 投影到 3D 平面上：P - P dot n * n
2. 从 "back" 看 3D 平面相对于法线（不确定如何定义）
3. 使用平面中各点的最大-最小坐标进行正射投影以定义剪裁

我正在与 iOS 合作。

Answer 1

一种方法是：

1. 旋转坐标系，使感兴趣平面位于x-y平面，法向量n与z轴对齐
2. 通过将点的 z 分量设置为 0
将点投影到 x-y 平面上

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设置坐标变换

这个问题有无限多种解法，因为我们总是可以在 x-y 平面上旋转一个解法以获得另一个有效解法。

为了解决这个问题，让我们选择一个向量 v，它位于变换后与 x 轴对齐的平面中。任何向量都可以；让我们在坐标为 x=1 和 y=0.

的平面中获取矢量

由于我们的平面与原点相交，其方程为：

x*n1 + y*n2 + z*n3 = 0
z = -(x*n1 + y*n2)/n3

代入x=1、y=0后，我们看到

v = [1 0 -n1/n3]

我们还需要确保 v 被归一化，所以设置

v = v/sqrt(v1*v1 + v2*v2 + v3*v3)

编辑：上述方法在n3=0的情况下会失败。找到 v 的另一种方法是从我们的点集中取一个随机点 P1 而不是 n 的标量倍数并计算 v = P1 - P1 dot n * n，也就是P1在平面上的投影。继续搜索您的观点，直到找到满足 (P1 dot n/norm(n)) != P1 的观点，这保证有效。

现在我们需要一个矢量 u，它在变换后将与 y 轴对齐。我们从 n 和 v:

的叉积中得到这个

u = n cross v

如果 n 和 v 被归一化，那么 u 会自动归一化。

接下来，创建矩阵

M = [ v1 v2 v3 ]
    [ u1 u2 u3 ]
    [ n1 n2 n3 ]

变换点数

现在给定一个 3×N 的点数组P，我们只需按照上面的两个步骤

1. P_transformed = M*P
2. P_plane = set the third row of P_transformed to zero

P_plane的x-y坐标现在是平面中的二维坐标系。

如果需要取回3D空间坐标，用P_space = M_transpose*P_plane进行逆向变换即可。