非线性微分方程，如何在 MATLAB 中数值求解？

Question

我一直在做一个项目，我需要找到给定非线性微分方程的解，见下图：

现在，我已经尝试使用matlabs内置函数bvp4c，但是语法很难，我不知道结果是否可靠。对于某些值，bvp4c 函数只会生成错误。我还有边界条件需要考虑，见下图：

我很抱歉这些数字太可怕了。现在我知道这不是数学论坛，但我需要用数值方法解决这个问题，我想用可用的最佳方法解决它。我的代码如下所示：

function [theta_0 y2]=flow_BVP

theta_0=linspace(0,1,1000); % pi/18
solinit2=bvpinit(theta_0,[0 1 1]);
sol2=bvp4c(@flow_ode,@flow_bc,solinit2);
x2=sol2.x;
y2=sol2.y(1,:);


hold on
%plot(x1,y1) %gammal
plot(x2,y2) %ny
%hold off


function v=flow_init(x)
v=[sin(x); 1; 1];

function dydx=flow_ode(x,y)
q=0.0005;
v=1;
dydx = [y(2); y(3); 2*q/v*y(1)*y(2)-4*y(2)];

function res=flow_bc(ya,yb)
res=[ya(1);yb(1);ya(2)-5.59];

重复我的问题，解决这个问题的最佳方法是什么？最简单、最容易理解和实施的方法是什么？也许射击？

问候 SimpleP。

编辑目前我得到的结果是这样

图中显示了 f 与 \theta 的关系。积分为1，理应如此。

Answer 1

合并积分的一般方法是将 f 的反导数 F 添加到 ODE 系统。即作为第四个分量和变量

F' = f  with   F(0)=0,  F(alpha)=1

其他组件需要移动一个索引，

function v=flow_init(x)
v=[sin(x); 1; 1; 1-cos(x)];

function dydx=flow_ode(x,y)
% y is [ f, f', f'', F ]
q=0.0005;
v=1;
dydx = [y(2); y(3); 2*q/v*y(1)*y(2)-4*y(2); y(1)];

function res=flow_bc(ya,yb)
res=[ya(1); ya(4); yb(1); yb(4)-1];

使用python:

q, v = 0.0005, 1
def flow_ode(t,u): return [ u[1], u[2], 2*q/v*u[0]*u[1]-4*u[1], u[0] ]

def flow_bc(u0, u1): return [ u0[0], u0[3], u1[0], u1[3]-1 ]

x = x_init = np.linspace(0,1,11);
u_init = [ 6*x*(1-x), 0*x, 0*x, x ]

res = solve_bvp(flow_ode, flow_bc, x_init, u_init, tol = 1e-5)

print res.message
if res.success:
     x = x_sol = np.linspace(0,1,201);
     u_sol = res.sol(x_sol);
     plt.subplot(2,1,1)
     plt.plot(x_sol, u_sol[0]); plt.plot(x, 6*x*(1-x), lw=0.5); plt.grid()
     plt.subplot(2,1,2)
     plt.plot(x_sol, u_sol[3]); plt.grid()
     plt.show()

可以看出，这里的初步猜测非常接近。由于 ODE 是 4f'+f'''=0 的小扰动，解必须接近其解 a+b*sin(2x)+c*cos(2x)，其边界条件计算为

f(x)=A * [ (1-cos(2))*sin(2*x)-sin(2)*(1-cos(2*x)) ]
    = 4*A*sin(1) * sin(x)*sin(1-x)

与 A 使得积分为一。

如果切换 ODE 中的参数值，q=1 和 v=0.0005，解将具有大小为 sqrt(v/q) 的边界层。

非线性微分方程，如何在 MATLAB 中数值求解？

Nonlinear differential equation, how do I solve this numerically in MATLAB?

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