MATLAB

Question

我正在尝试使用积分命令在一些圆形闭合路径上找到复杂的 line/path 积分。我对 1/(z-i)^2 在逆时针遍历一次的圆 {z:|z|=2} 上的积分代码如下：

fun = @(z) 1 ./((z-1i) .^ 2);;
g = @(t) 2 .*(cos(t) + 1i .* sin(t));
gprime = @(t) 2 .*(-sin(t) + 1i .* cos(t));
q1 = integral(@(t) fun(g(t)) .* gprime(t),0,2 .* pi)

（我希望答案为 0，而 matlab 给出 6.6613*10^(-16)-4.4409*10^(-16)i）。

我对e^z/(z(z^2-9))在圆{z:|z-2|=3}上逆时针遍历一次的积分代码如下：

fun = @(z) exp(z) ./(z .* (z.^2-9));
g = @(t) 2+3 .*(cos(t) + 1i .* sin(t));
gprime = @(t) 2+3 .*(-sin(t) + 1i .* cos(t));
q1 = integral(@(t) fun(g(t)) .* gprime(t),0,2 .* pi)

（我希望答案是 pi/9(e^3-2)i，但 matlab 给出 5.4351+6.3130i）。

如上所示，我的问题是，当圆形路径以原点为中心时，代码会给出准确的值，否则会失败；有时给出准确的虚部但不准确的实部或只是一个完全不准确的答案。

谁能看出哪里出了问题？

Answer 1

您对第二个问题的预期答案不正确。 Mathematica 告诉我答案应该是：

pi*(2/45)*(5 + (exp(2))*(5*exp(1) - 9)) + (pi/9 *(exp(3) - 2))*i

= 5.435120011473026 + 6.313043326012592i

这几乎就是您从 Matlab 得到的答案。

请记住，Matlab 中的 integral 函数执行数值积分，因此您获得的结果将受到机器舍入误差的影响。这意味着你得到的第一个问题的结果基本上也是正确的；这可能是您可以通过数值积分获得的最佳答案。

Answer 2

我已经在评论中回答了第一个问题。

第二题，你计算导数时出错：加法常数2应该消失。这样得到的结果是6.3130i，完全符合理论值。

fun = @(z) exp(z) ./(z .* (z.^2-9));
g = @(t) 2+3 .*(cos(t) + 1i .* sin(t));
gprime = @(t) 3 .*(-sin(t) + 1i .* cos(t));
q1 = integral(@(t) fun(g(t)) .* gprime(t),0,2 .* pi)

我借此机会建议你，用"way points"方法计算复数积分，而不是以前的方法（参见示例 https://uk.mathworks.com/help/matlab/math/complex-line-integrals.html）；在这里，它将是

C=[-2+i,-2-i,5-i,5+i];
integral(@(z) (exp(z) ./(z .* (z.^2-9))),1,1,'WayPoints',C)

其中 C 是一个正方形（更一般地说是任何正方形），它包含所需的极点并且仅包含它们。（始终取第二个和第三个参数为1,1）

附录：通过剩余定理快速个人检查理论值：

2i pi(Res(f,0)+Res(f,3))=2i pi(1/(-9)+e^3/(27-9)).

MATLAB - 复数 line/path 积分

MATLAB - complex line/path integral

integration

octave