将 Bound 与多个类型变量一起用于抽象

Question

我一直在试用 bound 包 - 您可以尝试使用的一个玩具示例是 System F。与包文档中的示例不同，包文档中的示例具有一个类型参数，用于变量被绑定lambda，System F 将有两个类型参数，一个用于普通变量（由普通 lambda 抽象绑定），一个用于类型变量（由类型抽象绑定）。

我不太明白如何使用这个包，但是看了示例，我的印象是我应该从为表达式类型编写一个 Monad 实例开始。但是，我运行遇到了麻烦，因为我无法想出可以进行类型检查并且也是 "obviously correct" 的东西（即通过检查看起来直觉上是正确的）。到目前为止我有

{-# LANGUAGE DeriveTraversable #-}
{-# LANGUAGE DeriveFoldable #-}
{-# LANGUAGE DeriveFunctor #-}
{-# LANGUAGE LambdaCase #-}

module SystemF where

import Bound
import Control.Monad
import Data.Bifunctor

-- e ::= x | λx : τ. e | e1 e2 | ΛX. e | e [τ]
-- t denotes type variables, e denotes expression variables
data Exp t e
  = Var e
  | Lam (Scope () (Exp t) e)
  | App (Exp t e) (Exp t e)
  | TyLam (Scope () (FlipExp e) t) -- Is this correct?
  | TyApp (Exp t e) (Type t)

newtype FlipExp e t = FlipExp { getExp :: Exp t e }

instance Functor (Exp t) where
  fmap = second

instance Bifunctor Exp where
  bimap f g = \case
    Var e -> Var (g e)
    Lam s -> Lam (bimapInScope f g s)
    App e1 e2 -> App (bimap f g e1) (bimap f g e2)
    TyLam s' -> TyLam (bimapInScope g f s')
    TyApp e t -> TyApp (bimap f g e) (fmap f t)
    where
      bimapInScope f g = Scope . bimap f (second (bimap f g)) . unscope

instance Applicative (Exp t) where
  pure = Var
  (<*>) = ap

instance Monad (Exp t) where
  x >>= f = case x of
    Var v -> f v
    Lam s -> Lam (s >>>= f)
    App e1 e2 -> App (e1 >>= f) (e2 >>= f)
    TyLam s ->
      -- tmp :: Exp (Var () (Exp t a) a
      -- but we need Exp (Var () (Exp t b)) b
      -- just applying >>= inside the first argument 
      -- is insufficient as the outer 'a' won't change
      let tmp = first (second getExp) $ getExp (unscope s)
      in error "How do I implement this?"
    TyApp e t -> TyApp (e >>= f) t

instance Functor (FlipExp e) where
  fmap = second

instance Bifunctor FlipExp where
  bimap f g = FlipExp . bimap g f . getExp

-- τ ::= X | τ -> τ | ∀ X . τ
data Type t
  = TVar t
  | TFun (Type t) (Type t)
  | TForall (Scope () Type t)
  deriving (Functor, Foldable, Traversable)

instance Applicative Type where
  pure = TVar
  (<*>) = ap

instance Monad Type where
  x >>= f = case x of
    TVar v -> f v
    TFun t1 t2 -> TFun (t1 >>= f) (t2 >>= f)
    TForall s -> TForall (s >>>= f)

是否可以为 Exp t 提供一个 monad 实例？如果是，如何？
Monad 实例背后的直觉是什么？对于 State/Maybe monad，我发现将它们视为链接计算（在绑定方面）很有用，而对于像列表这样的结构，我发现将它们视为扁平化（在术语中）很有用加入）。但是，我无法对 Exp 的 Monad 实例提出任何正确的直觉。 bind 是否精确地进行了避免捕获的替换？我通读了这个 post 但读完普通的 "De Bruijn indices" 部分就迷路了。

Answer 1

查看讨论 here and @phadej's bound-extras package here。

要点是类型抽象是术语级别的东西（因此是 Expr 的变体），需要对 Type 进行抽象。普通的 Scope b f a 不适合处理这个问题，因为它的扩展 f (Either b (f a)) 已经为这两种情况修复了 f。您希望外部 f 是 Expr，而内部应该是 Type。这导致 Scope 的以下概括：

newtype ScopeH b f g a = ScopeH (g (Either b (f a)))
newtype ScopeT b t f a = ScopeT (t f (Either b (f a)))

newtype Expr' a b = Expr' (Expr b a)
data Expr b a
  = V a
  ...
  | TyApp (Expr b a) (Ty b)
  | Forall (ScopeH () (Expr' a) Ty b)
  ...

Expr' a 修复了术语变量的 de Bruijn 索引，以便 ScopeH 构造函数可以引入一个额外的类型变量以放入 b 孔中。

将 Bound 与多个类型变量一起用于抽象

Using Bound with multiple type variables for abstractions

monads

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