检查列表元素接近什么值的最佳方法是什么？

Question

我正在研究一种计算 Python 中函数极限的方法，但某些函数给出了不正确的输出。我的主要目标是计算导数，但为此，我必须计算函数的极限。

这是个人项目，我不会想要一个模块来解决限制，或者在维基百科上搜索算法。我尝试使用以下方法：

我生成了一个列表，其中 f(x) 的值非常接近 x 趋向的值
代码分析了这个列表中哪个值重复次数最多，得出这个值是函数f(x)趋于x的极限。

这种方法显然是反数学的，但我想不出更好的解决办法。我尝试应用集中化措施，但我认为它不适用于周期性连分数，例如 2/7。

这是我的代码：

# this function resolves a numerical expression
# using eval function from Python

def Solve(Str):
    if '^' in Str:
        Str = Str.replace('^', '**')
    return eval(Str)


# this function solves a mathematical function by substituting x
# for a value passed by parameter and returning its result

def SolveF(f, x, var = 'x'):
    f = f.replace(' ', '')

    # inserts a multiplication sign between numbers
    # example: 5x --> 5*x

    f = list(f)
    i = 0
    while i < len(f)-1:
        L = f[i:i+2]
        if L[0] in '0123456789' and L[1] == var:
            f.insert(i+1, '*')
        i += 1
    f = ''.join(f)

    f = f.replace(var, '(' + var + ')')
    f = f.replace(var, str(x))

    return Solve(f)


# this function returns f(x) for a value very close
# to the value at which x tends. for example, if x
# tends to 5, it returns f(5.0000000000001). the tiny
# amount that is added to x is 10^(-13) (arbitrary value)

def Lim(f, x, c = 13):
    return SolveF(f, x + (10**(-c)))


# this function returns several f(x) in a list to values
# very close to the value at which x tends. for example,
# if x tends to 0, it will add the list f(0.001), f(0.000001),
# f(0.0000001), ..., f(0.0000000001). then returns the value
# that most repeats in that list, which is supposed to be the
# value whose function is approaching.

def LimM(f, x):
    i = 0
    L = []
    for i in range(5, 20):
        try:
            L.append("{:.10f}".format(Lim(f, x, i)))
        except ZeroDivisionError:
            i += 1
            continue

    print(L)
    List2 = [L.count(i) for i in set(L)]
    if List2 == [1]*len(List2):
        return 'inf'
    else:
        return list(set(L))[List2.index(max(List2))]

from fractions import Fraction
while True:
    F = input('Function: ')
    X = float(input('x --> '))
    Res = LimM(F, X)
    if Res != 'inf':
            print(Fraction(Res).limit_denominator())
    else:
        print(Res)

示例 1： 函数 (x^2 - 4)/(x - 2) 逼近 x = 2.

LimM函数生成的列表等于['4.0000100000', '4.0000010001', '4.0000000977', '4.0000000000', '4.0000000000', '4.0000000000', '4.0000000000', '4.0000000000', '4.0000000000', '4.0000000000', '4.0000000000'].

请注意，列表中重复次数最多的值是 '4.0000000000'，因此限制等于 4。

示例 2： 函数 ((x + 1)/(x - 1) 逼近 x = 2.

LimM函数生成的列表等于['2.9999800002', '2.9999980000', '2.9999998000', '2.9999999800', '2.9999999980', '2.9999999998', '3.0000000000', '3.0000000000', '3.0000000000', '3.0000000000', '3.0000000000', '3.0000000000', '3.0000000000', '3.0000000000', '3.0000000000'].

请注意，列表中重复次数最多的值是 '3.0000000000'，因此限制等于 3。

我测试了 28 个不同的极限（你可以查看问题 here），只有 6 个不正确。其中有：

输入 1： 练习 1，项目 m)

Function: (1/(1-x)) - (3/(1-x^3))
x --> 1

    Right answer: -1
    Code output: 0

生成的列表：['-0.9999930434', '-1.0000138859', '-0.9992006216', '-0.7401486933', '0.0000000000', '0.0000000000', '0.0000000000', '0.0000000000', '0.0000000000', '0.0000000000', '0.0000000000']

输入 2： 练习 1，项目 p)

Function: (3x^4 - 4x^3 + 1)/(x - 1)^2
x --> 1

    Right answer: 6
    Code output: 0

生成的列表：['6.0000848733', '6.0000893153', '5.9952043260', '8.8817843050', '0.0000000000', '0.0000000000', '0.0000000000', '0.0000000000', '0.0000000000', '0.0000000000', '0.0000000000']

输入 3： 练习 1，项目 u)

Function: (x^2 + 7x - 44)/(x^2 - 6x + 8)
x --> 4

    Right answer: 15/2
    Code output: 4222/563

生成的列表：['7.4999675007', '7.4999967484', '7.4999995648', '7.4999992895', '7.4999982236', '7.4999911182', '7.4991119005', '7.4991119005', '7.5714285714', '6.6666666667']

输入 4： 练习 1，项目 z)

Function: (1/(x^2 - 1)) - (2/(x^4 - 1))
x --> 1

    Right answer: 1/2
    Code output: 0

生成列表：['0.4999950374', '0.4999879392', '0.4996002605', '0.8326672688', '0.0000000000', '0.0000000000', '0.0000000000', '0.0000000000', '0.0000000000', '0.0000000000', '0.0000000000']

输入 5： 练习 3，项目 a)

Function: ((1 + 2x)^(0.5) - 1)/(3x)
x --> 0

    Right answer: 1/3
    Code output: 0

生成列表：['0.3333316667', '0.3333331667', '0.3333333165', '0.3333333313', '0.3333332869', '0.3333333609', '0.3333333609', '0.3332889520', '0.3330669074', '0.3330669074', '0.2960594732', '0.0000000000', '0.0000000000', '0.0000000000', '0.0000000000']

因此，检查列表元素接近什么值的最佳方法是什么？

Answer 1

只取最后一个值。这是您将获得的最佳近似值。

更高级别的算法改进：甚至不必计算列表的其他元素。只需取一个差值很小的差商并将其用作计算的导数。

这当然不会完全可靠，但这是您选择的方法不可避免的问题。根本不可能通过查看您想要取极限的地方附近的有限数量的点来计算极限。

检查列表元素接近什么值的最佳方法是什么？

What is the best method to check for what value the elements of a list are approaching?

python

math

statistics

calculus