迭代对数的大theta
Big theta of iterative logarithm
我有两个数学函数：log(log*n) 和 2^(log*n)。
现在，我想计算这两个函数的渐近增长（特别是我想找到大的 theta）。最后，我想比较一下它们的复杂度。任何人都可以分享一个可以解决此类问题的 formal/intuitive 解决方案吗？
谢谢。
这很有趣。让我们从使用标准技术开始：很难对指数进行推理，所以让我们取其对数，看看会发生什么。这给我们留下了这些功能：
log(log(log* n)) and log* n.
现在的问题是他们如何相互比较。一般来说，某些函数的日志总是比函数本身增长得更慢，前提是函数在变大的同时不断增长。使用所有 k ≥ 1 的 log k < k 的事实，如果我们选择任何 n ≥ 22222 我们将得到 log* n ≥ 4，所以 log log* n ≥ 2，所以 log log log* n ≤ log* n，这给了我们 log log log* n = O(log* n)。从那里，不难证明 log log* n = O(2log* n).
我有两个数学函数：log(log*n) 和 2^(log*n)。 现在，我想计算这两个函数的渐近增长（特别是我想找到大的 theta）。最后，我想比较一下它们的复杂度。任何人都可以分享一个可以解决此类问题的 formal/intuitive 解决方案吗？
谢谢。
这很有趣。让我们从使用标准技术开始：很难对指数进行推理，所以让我们取其对数，看看会发生什么。这给我们留下了这些功能：
log(log(log* n)) and log* n.
现在的问题是他们如何相互比较。一般来说，某些函数的日志总是比函数本身增长得更慢，前提是函数在变大的同时不断增长。使用所有 k ≥ 1 的 log k < k 的事实，如果我们选择任何 n ≥ 22222 我们将得到 log* n ≥ 4，所以 log log* n ≥ 2，所以 log log log* n ≤ log* n，这给了我们 log log log* n = O(log* n)。从那里，不难证明 log log* n = O(2log* n).