生成与一个向量相关但彼此之间不相关的随机变量

Question

我有一个包含正态分布随机变量的向量 s1。我想再生成 4 个正态分布的随机向量，每个向量都有自己与 s1 的相关性以及自己的方差。我们称它们为 s2 到 s5.

如果我使用 mvrnorm() 和协方差矩阵，我必须指定 s1 和每个其他向量之间的协方差，这很好。但我还必须指定每个其他向量之间的协方差（例如 s2 和 s3 之间），这并不好。我最终会得到 s2 和 s3 之间的相关性，没有理由应该有一个相关性。

如何生成具有指定（和不同）标准差和指定协方差的 s2 到 s5，而不强制 s2 到 s5?

编辑：这是将 rho(3,2) 设置为零后的协方差矩阵

           [,1]      [,2]       [,3]
[1,] 0.00022500 0.0002625 0.00044625
[2,] 0.00026250 0.0006250 0.00000000
[3,] 0.00044625 0.0000000 0.00122500

Answer 1

只需将协方差矩阵中的相应元素设置为0:

library(MASS)
set.seed(1)
(sig <- matrix(c(5, .5, .8, .5, 1, 0, .8, 0, .5), 3))
#      [,1] [,2] [,3]
# [1,]  5.0  0.5  0.8
# [2,]  0.5  1.0  0.0  ## <- 0 = covariance between s2 and s3
# [3,]  0.8  0.0  0.5
x <- mvrnorm(1e5, rep(0, 3), sig)
cov(x)
#           [,1]         [,2]         [,3]
# [1,] 5.0356870 0.5100643820 0.8004814044
# [2,] 0.5100644 1.0042540190 0.0008037978
# [3,] 0.8004814 0.0008037978 0.4972328657

## with empirical = TRUE you can force the cov matrix to match exactly sig
cov(mvrnorm(1e5, rep(0, 3), sig, empirical = TRUE))
#      [,1]          [,2]          [,3]
# [1,]  5.0  5.000000e-01  8.000000e-01
# [2,]  0.5  1.000000e+00 -2.267044e-15
# [3,]  0.8 -2.267044e-15  5.000000e-01

根据评论更新

如果问题是求正定相关矩阵，可以用Matrix::nearPD求最近的正定矩阵：

set.seed(1)
sig <- structure(c(0.000225,  0.0002625, 0.00044625, 
                   0.0002625 , 0.000625, 0, 
                   0.00044625, 0       , 0.001225), 
                 .Dim = c(3L, 3L))
cov(mvrnorm(1e5, rep(0, 3), Matrix::nearPD(sig, TRUE, TREU)$mat, empirical = TRUE))

#            V1           V2           V3
# V1 1.00000000 2.625000e-04 4.462500e-04
# V2 0.00026250 1.000000e+00 3.614917e-15
# V3 0.00044625 3.614917e-15 1.000000e+00

生成与一个向量相关但彼此之间不相关的随机变量

Generating random variables that are correlated with one vector but not between each other

simulation

r

correlation