具有两个约束的背包问题的伪代码算法

Question

我正在尝试用两个约束解决以下背包问题。

我们知道的：

列表项目项目总数
列表项重量
列表项值
列出物品是否易碎(true/false)

约束：

列表项背包最大重量
列表项背包可容纳的易碎物品的最大数量。

任何人都可以给我一些关于我应该使用的算法、伪代码或好文章的建议吗？

更新：

我忘记说的重要一点是，我还需要知道我在包里放了哪些物品。

Answer 1

看来修改背包就可以解决。

假设我们有 N 件物品，背包的最大重量为 W，易碎物品的最大数量为 F

让我们定义我们的 dp table 为 3 维数组 dp[N+1][W+1][F+1]

现在 dp[n][w][f] 存储我们可以得到的最大值，如果我们用第一个项目的一些子集填充背包 n 件物品，重量恰好为 w，易碎物品恰好为 f。

frop dp[n][w][f] 我们可以移动到状态：

dp[n+1][w][f] 如果我们跳过第 n+1 项
dp[n+1][w + weight(n+1)][f + isFragile(n+1)] 如果我们取第 n+1 项

所以伪代码：

dp[N+1][W+1][F+1] // memo table, initially filled with -1

 int solve(n,w,f)
{
    if(n > N)return 0;
    if(dp[n][w][f] != -1) return dp[n][w][f];

    dp[n][w][f] = solve(n+1,w,f); //skip item
    if(w + weight(n) <= W && f + isFragile(n) <=F)
    dp[n][w][f] = max(dp[n][w][f], value(n) + solve(n+1, w + weight(n), f + isFragile(n)));

    return dp[n][w][f]
}

print(solve(1,0,0))

得到实际的子集也不难：

vector<int> getSolution(n,w,f)
{   
    int optimalValue = solve(n,w,f);
    vector<int>answer; //just some dynamic array / arrayList

    while(n <= N)
    {
        if(solve(n+1,w,f) == optimalValue)n++; //if after skipping item we can still get optimal answer we just skip it
        else //otherwise we cant so current item must be taken
        {
            int new_w = w + weight(n);
            int new_f = f + isFragile(n);
            answer.push_back(n); //so we just save its index, and update all values
            optimalValue -= value(n);
            n++;
            w = new_w;
            f = new_f;
        }
    }
    return answer;
}

Answer 2

非递归方法

# N: number of items, W: max weight of knapsack, F: max amount of fragile items
# if item doesn't fit, then skip
# if it fits, check if it's worth to take it

dp[N+1][W+1][F+1] # filled with zeros
benefit, weight, fragility = [] # arrays filled with respective item properties

for n in range(1, N + 1):
   for w in range(1, W + 1):
      for f in range(0, F + 1):
         if weight[n-1] > w or fragility[n-1] > f:
            dp[n][w][f] = dp[n-1][w][f]
         else: 
            dp[n][w][f] = max(dp[n-1][w][f],
                              dp[n-1][w-weight[n-1]][f-fragility[n-1]] + benefit[n-1])

print(dp[N][W][F]) # prints optimal knapsack value

列出项目

knapsack = [] # indexes of picked items
n = N
w = W
f = F

while n > 0:
   if dp[n][w][f] != dp[n-1][w][f]:
      knapsack.append(n-1)
      w -= weight[n-1]
      f -= fragility[n-1]
   n -= 1

print(knapsack) # prints item indexes

具有两个约束的背包问题的伪代码算法

Pseudo code Algorithm for Knapsack Problem with Two Constrains

algorithm

pseudocode

knapsack-problem

dynamic-programming