使用 `fsolve` 求解具有 n 个未知数的 m 个方程，其中 n<m

Question

假设我有两个方程，其中一个未知，我想用 fsolve 来求解：

0 = 0.5*x[0]**2-2
0 = 2-x

显然答案是 x=2。这个我试过了

import numpy as np; from scipy.optimize import fsolve
def f(x):
    r  = np.zeros(2)
    r[0] =  0.5*x[0]**2-2
    r[1] = 2-x[0]

    return r

fsolve(f,[0.5])

错误信息是"The array returned by a function changed size between calls"

我看不出这里出了什么问题。我该如何解决这个问题？

一般来说，如何求解变量数少于方程数的方程式。

这是完整的消息

Traceback (most recent call last):

  File "<ipython-input-37-e4f77791f3f6>", line 12, in <module>
    fsolve(f,[0.5])

  File "... anaconda3/lib/python3.7/site-packages/scipy/optimize/minpack.py", line 148, in fsolve
    res = _root_hybr(func, x0, args, jac=fprime, **options)

  File ".... /anaconda3/lib/python3.7/site-packages/scipy/optimize/minpack.py", line 227, in _root_hybr
    ml, mu, epsfcn, factor, diag)

ValueError: The array returned by a function changed size between calls

Answer 1

在超定系统的情况下（方程的数量大于变量的数量）你需要使用，例如，最小二乘法。在这种情况下，通常没有传统意义上的解决方案。我们需要定义，我们应该将什么视为系统的解决方案。

让你有一个标量变量的两个方程组：

f(x) = 0 g(x) = 0

这个系统通常不一致，没有传统意义上的解决方案。

让我们将一些值 eps1 和 eps2 添加到系统的右侧：

f(x) = 0 + eps1 g(x) = 0 + eps2

eps1 和 eps2 是一些值；

现在，让我们找到 x 当 eps1^2 + eps2^2 上升时的最小值；这将是系统的解决方案在最小二乘意义上。

要使用 scipy 获得此类解决方案，您可以使用 least_square 函数。

让我们看看下面的一段代码，它解决了你的方程组：

import numpy as np
from scipy.optimize import fsolve, least_squares
def f(x):
    r  = np.zeros(2)
    r[0] =  0.5*x**2-2
    r[1] = 2-x

    return r

least_squares(f, [0.0])

结果：

active_mask: array([0.])
        cost: 5.175333019854869e-20
         fun: array([ 2.87759150e-10, -1.43879575e-10])
        grad: array([7.19397879e-10])
         jac: array([[ 2.00000001],
       [-1.        ]])
     message: '`gtol` termination condition is satisfied.'
        nfev: 6
        njev: 6
  optimality: 7.193978788924559e-10
      status: 1
     success: True
           x: array([2.])

使用 `fsolve` 求解具有 n 个未知数的 m 个方程，其中 n<m

using `fsolve` to solve m equations with n unknowns where n<m

python

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