逻辑：All_In 无法展开 nested forall

Question

我面临一个非常奇怪的问题：coq 不想将 forall 变量移动到上下文中。

过去是这样的：

Example and_exercise :
  forall n m : nat, n + m = 0 -> n = 0 /\ m = 0.
Proof.
  intros n m.

它生成：

n, m : nat
============================
n + m = 0 -> n = 0 /\ m = 0

但是当我们在forall里面有forall的时候，就不行了：

(* Auxilliary definition *)
Fixpoint All {T : Type} (P : T -> Prop) (l : list T) : Prop :=
  (* ... *)

Lemma All_In :
  forall T (P : T -> Prop) (l : list T),
    (forall x, In x l -> P x) <->
    All P l.
Proof.
  intros T P l. split.
  - intros H.

之后我们得到：

T : Type
P : T -> Prop
l : list T
H : forall x : T, In x l -> P x
============================
All P l

但是如何将 x 移动到 H 之外并将其分解成更小的部分？我试过了：

destruct H as [x H1].

但是报错：

Error: Unable to find an instance for the variable x.

这是什么？如何修复？

Answer 1

问题是 forall 嵌套在蕴涵的左侧而不是右侧。从 forall x, P x 形式的假设引入 x 没有意义，就像引入 n 没有意义一样在 plus_comm : forall n m, n + m = m + n 进入另一个证明的上下文。相反，您需要通过在正确的位置应用来使用 H 假设。我无法给你这个问题的答案，但你可能想参考同一章中的 dist_not_exists 练习。

逻辑：All_In 无法展开 nested forall

Logic: All_In can't expand nested forall

coq

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