vpasolve 未知数多于方程 => 无解

Question

我有 3 个方程式和 4 个未知数需要求解。当然有解决方案，但 vpasolve 没有 return 任何，如果我下降到 3 eq 和 3 unknowns，它工作得很好。我知道随着更多的未知数，我有几乎无限多的解决方案，那么在这种情况下我该如何让它发挥作用？

这是我的代码：

syms x y z theta1 theta2 theta3 phi1

xEquation = x == cos(theta1)*cos(phi1) + cos(theta1 + theta2)*cos(phi1) + cos(theta1 + theta2 + theta3)*cos(phi1)
yEquation = y == cos(theta1)*sin(phi1) + cos(theta1 + theta2)*sin(phi1) + cos(theta1 + theta2 + theta3)*sin(phi1)
zEquation = z == sin(theta1) + sin(theta1 + theta2) + sin(theta1 + theta2 + theta3)

x = 2;
y = 1.5;
z = 0;
sol = vpasolve([eval(xEquation), eval(yEquation), eval(zEquation)], [theta1, theta2, theta3, phi1], [-pi pi; -pi pi; -pi pi; -pi pi;]);

生成具有 4 个字段的 sol 结构，但它们是空的，没有解决方案。

Answer 1

求解具有 n 个未知数的 m 个方程，例如 m<n，意味着一些变量将是依赖于其他变量的参数。

例如

x-3y+z = 2
x-y+5z = 5

假设z是参数
要在 Matlab 中解决此问题，请使用代码

syms x y z

eq1 = x-3*y+z ==2;
eq2 = x-y+5*z ==5;
sol = solve(eq1, eq2, x, y);
sol.x
sol.y

如你所见z在求解表达式中被省略，这意味着它将被视为参数
解决方案是

sol.x = 13/2 - 7*z
sol.y = 3/2 - 2*z

从解中可以看出x, y and z不是数值值，所以这就是你不能使用 vpasolvewhich 的原因代表 Variable-precision arithmetic。 vpasolve 给出了一个数值解的精度
此外，由于 x, y and z 不是数值，您无法预定义他们的范围，除非你先修复 z

你可以用solve来查看解集，这里我考虑phi1作为参数，所以在求解表达式

中省略了它

syms x y z theta1 theta2 theta3 phi1
    
xEquation = 2 == cos(theta1)*cos(phi1) + cos(theta1 + theta2)*cos(phi1) + cos(theta1 + theta2 + theta3)*cos(phi1);
yEquation = 1.5 == cos(theta1)*sin(phi1) + cos(theta1 + theta2)*sin(phi1) + cos(theta1 + theta2 + theta3)*sin(phi1);
zEquation = 0 == sin(theta1) + sin(theta1 + theta2) + sin(theta1 + theta2 + theta3);
  
    
sol = solve(xEquation, yEquation, zEquation, theta1, theta2, theta3);

解集

sol.theta1 = [-pi*(2*n - 1); pi*(2*m + 1); pi*k; pi*k]
sol.theta2 = [pi*(2*m + 1);  -pi*(2*n - 1);  -pi*(2*n - 1); z]
sol.theta3 = [pi*k; pi*k; pi*(2*m + 1); pi*(2*m + 1)] 
phi1 is the parameter

第一个解集

X = [sol.theta1(1); sol.theta2(1); sol.theta3(1); phi1]
X = [-pi*(2*n - 1); pi*(2*m + 1); pi*k; phi1]

根据上面的推导，有4组写成

z是参数，k, m, n是整数，主要是用于三角函数周期性
如果您在 [-pi, pi] 范围内设置 z，您可以将 k, m and n 调整为得到 [-pi, pi].
范围内的有效解

如您所见，这很耗时

使用`fmincon`

或者您可以使用 fmincon 来解决您的问题
我主要是最小化一个常数函数，fmincon会给出满足约束的解决方案，这里 ceq = 0
搜索区间[-pi pi]变换为lb = -pi并且 ub = pi
我设置初始猜测为0

代码如下

t = 0:0.1:1;
x = 1.5 + 0.5 .* cos(8 .* pi .* t);
y = 1.5 + 0.5 .* sin(8 .* pi .* t); 
z = 1 .* t .* ones(size(x));

lb = -pi*ones(1, 4);
ub = -lb;

p0 = zeros(1,4);
sol = cell(1,length(t));

for i = 1:length(t)
    sol{i} = fmincon(@(p)0,p0,[],[],[],[],lb,ub,@(p)nonlincon(x(i),y(i), z(i), p(1), p(2), p(3), p(4)));


end


function [c, ceq] = nonlincon(x,y, z, theta1, theta2, theta3, phi1)

    c = [];
    ceq(1) = cos(theta1)*cos(phi1) + cos(theta1 + theta2)*cos(phi1) + cos(theta1 + theta2 + theta3)*cos(phi1)-x;
    ceq(2) = cos(theta1)*sin(phi1) + cos(theta1 + theta2)*sin(phi1) + cos(theta1 + theta2 + theta3)*sin(phi1)-y;
    ceq(3) = sin(theta1) + sin(theta1 + theta2) + sin(theta1 + theta2 + theta3)-z;
end

解决方案

当t = 0.1为sol{2}

时的第二组解法

sol{2}.(1) = pheta1
sol{2}.(2) = pheta2
sol{2}.(3) = pheta3
sol{2}.(4) = phi1

你可以按照相同的逻辑在不同的时间t找到解决方案

The Entire solution

vpasolve 未知数多于方程 => 无解

vpasolve More Unknowns than Equations => No Solutions

matlab

solver

解集

第一个解集

如您所见，这很耗时

使用`fmincon`

代码如下

解决方案

vpasolve 未知数多于方程 => 无解

vpasolve More Unknowns than Equations => No Solutions

matlab

solver

解集

第一个解集

如您所见，这很耗时

使用fmincon

代码如下

解决方案

使用`fmincon`