计算随机2个人在同一组的概率？

Question

在我的数据集中，有 N 个人被分成 3 组 (groups = {A, B, C})。我想找出两个随机人 n_1 和 n_2 属于同一组的概率。

我有关于每个群体的数据以及他们有多少人。重要的是，每个组的大小不同。

import pandas as pd
import numpy as np
import math 

data = {
    "Group": ['A', 'B', 'C'],
    "Count": [20, 10, 5],
}

df = pd.DataFrame(data)

  Group  Count
0     A     20
1     B     10
2     C      5

我想我知道如何获取样本 space，S 但我不确定如何获取分子。

def nCk(n,k):
  f = math.factorial
  return f(n) / f(k) / f(n-k)

n = sum(df['Count'])
k = 2
s = nCk(n, k)

Answer 1

我会用超几何分布来回答你的问题，超几何分布是一个离散的概率分布，它描述了n次抽取中k次成功（随机抽取具有指定特征的对象）的概率，没有替换，来自大小为 N 的有限种群，其中恰好包含具有该特征的 K 个对象，其中每次抽取要么成功要么失败。相比之下，二项式分布描述了在有替换的 n 次抽签中 k 次成功的概率。所以总概率应该是都属于A的概率+都属于B的概率+都属于C的概率。这意味着

P(A) = (nCk(20,2) * nCk(15,0))/nCk(35,2)
P(B) = (nCk(10,2) * nCk(25,0))/nCk(35,2)
P(C) = (nCk(5,2) * nCk(5,0)) / nCk(35,2)

代码方面：

import pandas as pd
import numpy as np
import math 

data = {
    "Group": ['A', 'B', 'C'],
    "Count": [20, 10, 5],
}

df = pd.DataFrame(data)
def nCk(n,k):
  f = math.factorial
  return f(n) / f(k) / f(n-k)

samples = 2
succeses = 2
observations = df['Count'].sum()
p_a = ((nCk(df[df['Group'] == 'A'].set_index('Group').max(),samples)) * (nCk((observations - df[df['Group'] == 'A'].set_index('Group').max()),(samples-succeses)))) / nCk(observations,samples)
p_b = ((nCk(df[df['Group'] == 'B'].set_index('Group').max(),samples)) * (nCk((observations - df[df['Group'] == 'B'].set_index('Group').max()),(samples-succeses)))) / nCk(observations,samples)
p_c =((nCk(df[df['Group'] == 'C'].set_index('Group').max(),samples)) * (nCk((observations - df[df['Group'] == 'C'].set_index('Group').max()),(samples-succeses)))) / nCk(observations,samples)
proba = p_a + p_b + p_c
print(proba)

输出：

0.41176470588235287

Answer 2

我的离散数学技能有点生疏，请随时纠正我。您有 N 人分成大小为 s_1, ..., s_n 的组，因此 N = s_1 + ... + s_n.

一个随机的人属于i组的几率是s_i / N
第二个人在组中的几率 i 是 (s_i - 1) / (N - 1)
两人都在i组的几率是s_i / N * (s_i - 1) / (N - 1)
他们在任何组中在一起的概率是#3中所有组中概率的总和。

代码：

import numpy as np

s = df['Count'].values
n = s.sum()
prob = np.sum(s/n * (s-1)/(n-1)) # 0.4117647058823529

我们可以将此解决方案推广到 "the probability of k people all being in the same group":

k = 2
i = np.arange(k)[:, None]
tmp = (s-i) / (n-i)
prob = np.prod(tmp, axis=0).sum()

当 k > s.max()（在本例中为 20）时，答案为 0，因为您无法将所有这些都放在一个组中。当k > s.sum()（本例中为35）时，结果为nan.

计算随机2个人在同一组的概率？

Calculate probability 2 random people are in the same group?

python

statistics

numpy

probability

pandas