笛卡尔平面上沿指定向量的两个圆之间的最小距离

Question

我正在尝试解决以下问题（我正在使用 Matlab，但欢迎使用其他语言的伪代码/解决方案）：

我在笛卡尔平面上有两个圆，由它们的质心 (p1, p2) 和半径 (r1, r2) 定义。圆 1 (c1 = [p1 r1]) 被视为 'dynamic'：它正在沿矢量 V = [0 -1] 平移。圆 2 (c2 = [p2 r2]) 被视为 'static'：它位于 c1 的路径中，但其质心的 x 分量偏离 c2 的 x 分量（否则解决方案将是微不足道的：距离在圆质心减去它们的半径之和之间）。

我正在尝试确定圆 1 与圆 2 'collide' 沿 V 的距离 (d)（参见链接图像）。我确信我可以迭代地解决这个问题（即将 c1 转换为 c2 的边界框，然后收敛/测试交叉点）。但是，我想知道这个问题是否有封闭形式的解决方案。

Answer 1

移动坐标以简化表达式

px = p1.x - p2.x
py = p1.y - p2.y

并求解 d 的二次方程（零、一或两个解）

px^2 + (py - d)^2 = (r1 + r2)^2
(py - d)^2 = (r1 + r2)^2 - px^2
d = py +/- Sqrt((r1 + r2)^2 - px^2)

就这些了。

Answer 2

由于问题标题与依赖于固定向量 {0, -1} 或 {0, 1} 而不是任意向量的问题和接受的答案不匹配，我添加了另一个适用于任何单位向量。

其中（见图 1）

dx,dy为圆的行程单位矢量c1
p1,p2动圆圆心c1和静圆圆心c2
r1,r2每个圆的半径

下面将d设置为c1必须沿着dx行进的距离，dy与c2相撞，如果没有碰撞则d会设置为 Infinity

无解的三种情况

动圈正在远离静圈。 u < 0
移动的圆圈永远不会靠近到碰撞的程度。 dSq > rSq
两个圆已经重叠了。 u < 0 幸运的是数学使这与搬走的条件相同。

注意如果忽略 u 的符号（1 和 3），那么 d 将是第一个（因果）接触的距离时间倒退

于是伪代码找到d

d = Infinity
rSq = (r1 + r2) ^ 2     
u = (p1.x - p2.x) * dx + (p1.x - p2.x) * dy 
if u >= 0
    dSq = ((p2.x + dx * u) - p1.x) ^ 2 + ((p2.y + dy * u) - p1.y) ^ 2
    if dSq <= rSq 
        d = u - (rSq - dSq) ^ 0.5

联系方式可以通过

找到

cpx = p1.x + dx * d;
cpy = p1.x + dy * d;

笛卡尔平面上沿指定向量的两个圆之间的最小距离

Minimum distance between two circles along a specified vector on a cartesian plane

geometry

2d

vector

collision

_{图 1}