APL 点运算符的语义？
Semantics of APL dot operator?
圆点.可以用来实现不同类型的产品。例如，
1 2 3 +.× 4 5 6
我假设 a f.g b 的语义是：计算 g(a[i], b[i]) 然后减少使用 f。也就是说，
dot f g = f/a g¨ b ⍝ map g between a and b, and then reduce using f
为了验证这一点，我写道：
]display a ← ⍳ 4 ⋄ b ← 4 +⍳ 4 ⋄ I ← { ((⊂ ⍺), (⊂ ⍵))} ⋄ a I.I b
┌─────────────────────────────────────┐
│ ┌→────────────────────────────────┐ │
│ │ ┌→──┐ ┌→──────────────────────┐ │ │
│ │ │1 5│ │ ┌→──┐ ┌→────────────┐ │ │ │
│ │ └~──┘ │ │2 6│ │ ┌→──┐ ┌→──┐ │ │ │ │
│ │ │ └~──┘ │ │3 7│ │4 8│ │ │ │ │
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└∊────────────────────────────────────┘
我们可以清楚地看到元素的右折叠，因为它首先映射 I 创建
(1 5) (2 6) (3 7) (4 8) 然后使用 I 折叠创建嵌套结构，
所以我的定义似乎有效！
但是，这不适用于矩阵：
]display a ← 2 2 ⍴ ⍳ 4 ⋄ b ← 4 + 2 2 ⍴ ⍳ 4 ⋄ I ← { ((⊂ ⍺), (⊂ ⍵))} ⋄ a I.I b
┌→────────────────────────────────┐
↓ ┌→────────────┐ ┌→────────────┐ │
│ │ ┌→──┐ ┌→──┐ │ │ ┌→──┐ ┌→──┐ │ │
│ │ │1 5│ │2 7│ │ │ │1 6│ │2 8│ │ │
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│ ┌→────────────┐ ┌→────────────┐ │
│ │ ┌→──┐ ┌→──┐ │ │ ┌→──┐ ┌→──┐ │ │
│ │ │3 5│ │4 7│ │ │ │3 6│ │4 8│ │ │
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│ └∊────────────┘ └∊────────────┘ │
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有意思！所以在这种情况下它似乎实际上计算了它的元素之间的某种外积，而不是 "fold"？我对 . 运算符的假设定义不执行
同样的操作：
]display a ← 2 2 ⍴ ⍳ 4 ⋄ b ← 4 + 2 2 ⍴ ⍳ 4 ⋄ I ← { ((⊂ ⍺), (⊂ ⍵))} ⋄ I/a I¨b
┌→────────────────────────────────┐
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那么，APL中.（点）的实际语义是什么？我怎么会自己发现这个？
来自Dyalog help page on "Inner Product"：
R←X f.g Y
The result of the derived function has shape (¯1↓⍴X),1↓⍴Y; each item is f/x g¨y where x and y are vectors taken from all the combinations of vectors along the last axis of X and the first axis of Y.
在vector f.g vector的情况下，正如您已经观察到的那样，可以将其理解为f/ vector g¨ vector。但是，对于矩阵和高维数组，它变得更加复杂。
对于矩阵，最直接的用法（也是引用最多的用法）是 "matrix product" +.×。在数学上，对于 m×n 矩阵 X 和 n×p 矩阵 Y，X +.× Y 被定义为一个 m×p 矩阵，其在 [i;j] 处的元素是向量点积（和X 的第 i 行和 Y 的第 j 列的逐元素乘积）。有关说明，请参阅 Wikipedia page.
在这种情况下，数组 X（m×n 矩阵）的形状 (⍴) 为 m n，而 Y 的形状为 n p。结果的形状为 m p，等于 (¯1↓m n),1↓n p.
如果我们将此定义推广到任意函数 f 和 g，（对于矩阵 X 和 Y），我们可以将 X f.g Y 定义为另一个矩阵，其元素为 "reduction by f" X 的每一行和 Y 的每一列的 "element-wise g"s。这正是文档在提到 f/x g¨ y 时所说的内容。此外，X 有 m 行，Y 有 p 列，因此计算 X 的每一行和 Y 的每一列的 所有组合 将精确地给出 m×p 值。
到目前为止，我们已经涵盖了文档一半以上的句子。那么"vectors along the last axis of X"是什么意思呢？对于形状为 m n 的矩阵 X，最后一个轴的长度为 n，因此矩阵 X 可以看作是 m 个长度为 n 的向量。类似地，"vectors along the first axis of Y" 表示将形状 n p 矩阵 Y 视为长度 n 的 p 个向量。然后两个长度-n向量（一个来自X，另一个来自Y）成为g¨的参数，这意味着长度必须匹配。
我们也可以将这个概念推广到高维数组。如果我们有一个 a×b×c 数组 X，它有 a×b 个长度为 c 的向量（最后一个轴）。如果我们有另一个 c×d×e 数组 Y，它有 d×e 个长度为 c 的向量（第一个轴）。然后对向量的所有组合进行计算将得到 a×b×d×e 个元素，这自然会给出形状为 a b d e.
的结果数组
综上所述，X f.g Y相当于提取X的最后一个轴向量和Y的第一个轴向量并计算外积 f/ x g¨ y 在向量上：
a ← 2 3 3⍴⍳4
b ← 3 3 4⍴⍳5
f ← {⍺+⊂⍵}
g ← {⍺⍵}
⎕←(a f.g b) ≡ (↓[≢⍴a]a) ∘.{⊃ f/ ⍺ g¨ ⍵} (↓[1]b)
此程序打印 1，即 true。 Try it online!
内积 (f.g) 的定义实际上在方言之间略有不同。在下文中，我将忽略单例参数，因为它们被视为标量。
Dyalog 的定义
Dyalog's documentation leads to the model {⍺(⍺⍺⌿⍵⍵¨⍤¯1)⍤1 999⊢⍵}. Try it!
IBM 的定义
IBM's documentation leads to the Dyalog APL (!) model {⍺⍺/¨(⊂⍤1⊢⍺)∘.⍵⍵⍉⊂⍤1⍉⍵}. Try it!
圆点.可以用来实现不同类型的产品。例如，
1 2 3 +.× 4 5 6
我假设 a f.g b 的语义是：计算 g(a[i], b[i]) 然后减少使用 f。也就是说，
dot f g = f/a g¨ b ⍝ map g between a and b, and then reduce using f
为了验证这一点，我写道：
]display a ← ⍳ 4 ⋄ b ← 4 +⍳ 4 ⋄ I ← { ((⊂ ⍺), (⊂ ⍵))} ⋄ a I.I b
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我们可以清楚地看到元素的右折叠，因为它首先映射 I 创建
(1 5) (2 6) (3 7) (4 8) 然后使用 I 折叠创建嵌套结构，
所以我的定义似乎有效！
但是，这不适用于矩阵：
]display a ← 2 2 ⍴ ⍳ 4 ⋄ b ← 4 + 2 2 ⍴ ⍳ 4 ⋄ I ← { ((⊂ ⍺), (⊂ ⍵))} ⋄ a I.I b
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↓ ┌→────────────┐ ┌→────────────┐ │
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有意思！所以在这种情况下它似乎实际上计算了它的元素之间的某种外积，而不是 "fold"？我对 . 运算符的假设定义不执行
同样的操作：
]display a ← 2 2 ⍴ ⍳ 4 ⋄ b ← 4 + 2 2 ⍴ ⍳ 4 ⋄ I ← { ((⊂ ⍺), (⊂ ⍵))} ⋄ I/a I¨b
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那么，APL中.（点）的实际语义是什么？我怎么会自己发现这个？
来自Dyalog help page on "Inner Product"：
R←X f.g YThe result of the derived function has shape
(¯1↓⍴X),1↓⍴Y; each item isf/x g¨ywherexandyare vectors taken from all the combinations of vectors along the last axis ofXand the first axis ofY.
在vector f.g vector的情况下，正如您已经观察到的那样，可以将其理解为f/ vector g¨ vector。但是，对于矩阵和高维数组，它变得更加复杂。
对于矩阵，最直接的用法（也是引用最多的用法）是 "matrix product" +.×。在数学上，对于 m×n 矩阵 X 和 n×p 矩阵 Y，X +.× Y 被定义为一个 m×p 矩阵，其在 [i;j] 处的元素是向量点积（和X 的第 i 行和 Y 的第 j 列的逐元素乘积）。有关说明，请参阅 Wikipedia page.
在这种情况下，数组 X（m×n 矩阵）的形状 (⍴) 为 m n，而 Y 的形状为 n p。结果的形状为 m p，等于 (¯1↓m n),1↓n p.
如果我们将此定义推广到任意函数 f 和 g，（对于矩阵 X 和 Y），我们可以将 X f.g Y 定义为另一个矩阵，其元素为 "reduction by f" X 的每一行和 Y 的每一列的 "element-wise g"s。这正是文档在提到 f/x g¨ y 时所说的内容。此外，X 有 m 行，Y 有 p 列，因此计算 X 的每一行和 Y 的每一列的 所有组合 将精确地给出 m×p 值。
到目前为止，我们已经涵盖了文档一半以上的句子。那么"vectors along the last axis of X"是什么意思呢？对于形状为 m n 的矩阵 X，最后一个轴的长度为 n，因此矩阵 X 可以看作是 m 个长度为 n 的向量。类似地，"vectors along the first axis of Y" 表示将形状 n p 矩阵 Y 视为长度 n 的 p 个向量。然后两个长度-n向量（一个来自X，另一个来自Y）成为g¨的参数，这意味着长度必须匹配。
我们也可以将这个概念推广到高维数组。如果我们有一个 a×b×c 数组 X，它有 a×b 个长度为 c 的向量（最后一个轴）。如果我们有另一个 c×d×e 数组 Y，它有 d×e 个长度为 c 的向量（第一个轴）。然后对向量的所有组合进行计算将得到 a×b×d×e 个元素，这自然会给出形状为 a b d e.
综上所述，X f.g Y相当于提取X的最后一个轴向量和Y的第一个轴向量并计算外积 f/ x g¨ y 在向量上：
a ← 2 3 3⍴⍳4
b ← 3 3 4⍴⍳5
f ← {⍺+⊂⍵}
g ← {⍺⍵}
⎕←(a f.g b) ≡ (↓[≢⍴a]a) ∘.{⊃ f/ ⍺ g¨ ⍵} (↓[1]b)
此程序打印 1，即 true。 Try it online!
内积 (f.g) 的定义实际上在方言之间略有不同。在下文中，我将忽略单例参数，因为它们被视为标量。
Dyalog 的定义
Dyalog's documentation leads to the model {⍺(⍺⍺⌿⍵⍵¨⍤¯1)⍤1 999⊢⍵}. Try it!
IBM 的定义
IBM's documentation leads to the Dyalog APL (!) model {⍺⍺/¨(⊂⍤1⊢⍺)∘.⍵⍵⍉⊂⍤1⍉⍵}. Try it!