最小化力的最佳轨迹，最终条件问题

Question

我试图找到一条轨迹，使将方块从一个点移动到另一个点的力的平方积分最小。以下是系统动态：

dx/dt = v (derivative of position is velocity)
dv/dt = u (derivative of velocity is acceleration, which is what I am trying to minimize)
min integral of u**2

初始条件和最终条件为：

x(0) = 0, v(0) = 0
x(1) = 1, v(1) = 1

我已经使用 Gekko 库在 python 中实现了这个，但是我无法使最终条件正常工作。使用m.fix()固定结束位置，问题无解

网上看的，我用m.Minimize()做了一个软约束，但是解离结束条件很远。我添加了一个额外的方程，使速度在最后小于零，这使得解看起来像正确的解，尽管结束位置是错误的（如果解按一个因子缩放，它将是正确的）。

我应该好好解决这个问题吗？

from gekko import GEKKO
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

##model

m = GEKKO() # initialize gekko

nt = 101
m.time = np.linspace(0,1,nt)

# Variables
x = m.Var(value=0)
v = m.Var(value=0)

u = m.Var( fixed_initial=False)

p = np.zeros(nt) # mark final time point
p[-1] = 1.0
final = m.Param(value=p)

# Equations
m.Equation(x.dt()==v)
m.Equation(v.dt()==u)

#m.Equation(x*final >= 1) #@error: Solution Not Found
m.Equation(v*final <= 0)

m.Minimize(final*(x-1)**2)
m.Minimize(final*(v-0)**2)

m.Obj(m.integral(u**2)*final) # Objective function

m.options.IMODE = 6 # optimal control mode

##solve
m.solve() # solve

##plot
plt.figure(1) # plot results
plt.plot(m.time,x.value,'k-',label=r'$x$')
plt.plot(m.time,v.value,'b-',label=r'$v$')
plt.plot(m.time,u.value,'r--',label=r'$u$')
plt.legend(loc='best')
plt.xlabel('Time')
plt.ylabel('Value')

##show plot
plt.show()

Plot of my results

Answer 1

您可以通过提高最终条件的权重来解决问题：

m.Minimize(final*1e5*(x-1)**2)
m.Minimize(final*1e5*(v-0)**2)

u 最小化仍有一些折衷，但它是最小的。

约束 m.Equation(x*final >= 1) 在 final=0 时不可行，因为这会导致不等式 0 >= 1。如果您想使用最终位置约束，则需要使用 m.Equation((x-1)*final >= 0) 以便约束仅在最后强制执行，但在其他地方可行 (0 >= 0)。对于最终条件，您不一定需要具有软（objective 函数）约束的硬约束。这里有一个related problem with an inverted pendulum.

from gekko import GEKKO
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

m = GEKKO() # initialize gekko
nt = 101; m.time = np.linspace(0,1,nt)
# Variables
x = m.Var(value=0)
v = m.Var(value=0)
u = m.Var(fixed_initial=False)
p = np.zeros(nt) # mark final time point
p[-1] = 1.0
final = m.Param(value=p)
# Equations
m.Equation(x.dt()==v)
m.Equation(v.dt()==u)
m.Equation((x-1)*final >= 0)
m.Equation(v*final <= 0)
m.Minimize(final*1e5*(x-1)**2)
m.Minimize(final*1e5*(v-0)**2)
m.Obj(m.integral(u**2)*final) # Objective function
m.options.IMODE = 6 # optimal control mode

m.solve() # solve

plt.figure(1) # plot results
plt.grid()
plt.plot(m.time,x.value,'k-',label=r'$x$')
plt.plot(m.time,v.value,'b-',label=r'$v$')
plt.plot(m.time,u.value,'r--',label=r'$u$')
plt.legend(loc='best')
plt.xlabel('Time')
plt.ylabel('Value')
plt.show()

最小化力的最佳轨迹，最终条件问题

Optimal trajectory to minimize force, issues with final conditions

python

optimization

gekko