浮点值 0.0 的表示方式是否与其他浮点值不同？

Question

我一直在翻阅我的 C++ 书籍，我遇到了一个声明，它说零可以精确地表示为浮点数。我想知道这怎么可能，除非 0.0 的值存储为浮点值以外的类型。我写了下面的代码来测试这个：

#include <iomanip>
#include <iostream>

int main()
{
    float value1 {0.0};
    float value2 {0.1};

    std::cout << std::setprecision(10) << std::fixed;

    std::cout << value1 << '\n' 
              << value2 << std::endl;
}

运行此代码给出了以下输出：

0.0000000000
0.1000000015

到10位精度，0.0还是0，0.1有一些不准确（这是意料之中的）。值 0.0 在表示方式上是否与其他浮点数不同，这是编译器或计算机体系结构的特性吗？

Answer 1

2如何表示为一个精确的数字？ 4？ 15？ 0.5？答案只是有些数字可以精确地用浮点格式表示（基于base-2/binary），而有些则不能。

这与十进制没有区别。你不能用十进制表示 ¹/₃，但这并不意味着你不能表示 0.

零在某种程度上是特殊的，因为（像其他实数一样）证明这个属性比一些任意小数更简单。但仅此而已。

所以：

what is it about these values (0, 1/16, 1/2048, ...) that allows them to be represented exactly.

简单的数学。在任何给定的基数中，在我们正在讨论的表示形式中，一些数字可以用固定的小数位数写出；其他人不能。就是这样。

您可以在线玩 H. Schmidt's IEEE-754 Floating Point Converter 不同的数字，以查看一堆不同的表示形式，以及编码到这些表示形式中会出现哪些错误。对于初学者，请尝试 0.5、0.2 和 0.1。

It was my (perhaps naive) understanding that all floating point values contained some instability.

不，绝对不是。

您希望将程序中的每个浮点值视为可能存在一些小错误，因为您通常不知道 是什么计算顺序导致的。你不能相信它，一般来说。我希望过去有人把这个教给你一半，这就是导致你误解的原因。

但是，如果您确实知道在创建值（例如"all I've done is initialised it to zero"）的每个步骤中涉及的错误（或缺少错误），那很好！那就不用担心了。

Answer 2

这是一种看待这种情况的方法：用 64 位来存储一个数字，有 2^64 位模式。其中一些是 "not-a-number" 表示，但大多数 2^64 模式表示数字。表示的数字是准确表示的，没有错误。在了解 floating point math 之后，这可能看起来很奇怪；一个警告潜伏在前方。

但是，有2^64那么大，实数还有无穷多。当计算产生非整数结果时，答案很可能不是由 2^64 模式之一表示的数字。也有例外。例如，1/2 由其中一种模式表示。如果将 0.5 存储在浮点变量中，它实际上将存储 0.5。让我们试试其他个位数的分母。 (注：我写分数是为了表现力，不是整数运算。)

1/1 – 正好存储
1/2 – 正好存储
1/3 – 未准确存储
1/4 – 正好存储
1/5 – 未准确存储
1/6 – 未准确存储
1/7 – 未准确存储
1/8 – 正好存储
1/9 – 未准确存储

因此，对于这些简单的示例，超过一半的示例并未准确存储。当您进行更复杂的计算时，任何一项计算都会让您脱离精确表示的孤岛。您明白为什么一般的经验法则是浮点值不精确吗？很容易落入那个境界。避免它是可能的，但不要指望它。

有些数字可以用浮点值精确表示。大多数不能。

浮点值 0.0 的表示方式是否与其他浮点值不同？

Is a floating-point value of 0.0 represented differently from other floating-point values?

c++

precision