如何判断一个点是在线段的左边还是右边？

Question

如果我们有一条线段(A.x, A.y, B.x, B.y)和一个点(C.x, C.y)，我如何判断该点是在线段的左侧还是右侧，顶部还是底部？我已经尝试过涉及以前帖子中交叉产品的解决方案，但它让我遇到了另一个问题。使用叉积使得 A 和 B 的顺序很重要。还有什么方法可以让A和B的顺序无所谓？

以前帖子的解决方案：

Use the sign of the determinant of vectors (AB,AM), where M(X,Y) is the query point:

position = sign((Bx - Ax) * (Y - Ay) - (By - Ay) * (X - Ax))

It is 0 on the line, and +1 on one side, -1 on the other side.

来源：How to tell whether a point is to the right or left side of a line

Answer 1

（我假设是笛卡尔坐标系，正x和y分别指向右边和上面）

给定一条通过点 (a, b), (c, d) 的直线，其方程为：

现在你有一个点(e, f)。如果你代入x=e, y=f, 并且它们满足等式，那就意味着这个点在直线上。

如果等式的左边较大，则表示您的点位于直线的顶部。如果等式右边较大，说明你的点在直线下方。

要计算出left/right，您还需要考虑梯度。如果梯度为正，则位于线下方意味着您位于线的右侧。如果梯度为负，则位于线下方意味着您位于线的左侧。反之亦然。

请注意，您需要将垂直线作为一种特殊情况进行处理。

在Java,

double lhs = e;
double gradient = (b - d)/(a - c);
if (Double.isInfinite(gradient)) {
    // vertical line, compare only x coordinates
    if (e < a) {
        // on the left
    } else if (e > a) {
        // on the right
    } else {
        // on the line
    }
}
double rhs = (gradient * (e - a)) + b;
if (lhs > rhs) {
    if (gradient > 0) {
        // on the left
    } else if (gradient < 0) {
        // on the right
    } else {
        // on the top
    }
} else if (lhs < rhs) {
    if (gradient > 0) {
        // on the right
    } else if (gradient < 0) {
        // on the left
    } else {
        // below
    }
} else {
    // on the line
}

要证明重新排列点的顺序不会改变这个结果很简单。改变点的顺序产生这个等式（a 变为 c，b 变为 d）：

如果将上面的方程式和开头的方程式展开，你会发现它们实际上是同一个方程式，即：

如何判断一个点是在线段的左边还是右边？

How to tell if a point is on the left or right side of a line segment?

java

math

processing

line