有没有办法在 R 中生成一个至少有一些负特征值的矩阵？

Question

我想生成一个至少有一些负特征值的矩阵？我正在尝试使用矩阵的谱分解来这样做，但它不能保证至少有一个负特征值

Answer 1

下面是一个简单的例子，可以帮助你构建这种矩阵

library(pracma)

N <- 3
U <- randortho(N, type = "orthonormal")
A <- diag(sample(c(-runif(1),rnorm(N-1)))) # ensure at least one negative eigenvalue 
M <- U %*% A %*% t(U)

然后

> M
            [,1]        [,2]       [,3]
[1,] -0.36818879  0.02406988  0.1634275
[2,]  0.02406988 -0.72613068 -0.1872272
[3,]  0.16342748 -0.18722722 -0.3116400

仔细检查特征值

> eig(M)
[1] -0.1432527 -0.4484647 -0.8142421

和

> A
           [,1]       [,2]       [,3]
[1,] -0.1432527  0.0000000  0.0000000
[2,]  0.0000000 -0.4484647  0.0000000
[3,]  0.0000000  0.0000000 -0.8142421

Answer 2

如果生成随机正定矩阵并将其乘以 -1 ... 会怎么样？

在这个例子中，我将创建一个具有正对角线的下三角矩阵并将其乘以它的转置（还有很多其他方法）：

set.seed(101)
m <- matrix(0,5,5)
m[lower.tri(m,diag=TRUE)] <- rnorm(15)
diag(m) <- abs(diag(m))
m2 <- m %*% t(m)

（如果你只想要半定的，你只需要确保对角线是非负的...）

是pos def吗？

v1 <- eigen(m2)$values
## [1] 5.976142640 1.908831945 0.904991040 0.037025982 0.002181558
all(v1>0) ## TRUE

检查 evals(-m2) == -evals(m2) ...

v2 <- eigen(-m2)$values
all(v2<0)  ## TRUE
all.equal(sort(v1),-v2)  ## TRUE

有没有办法在 R 中生成一个至少有一些负特征值的矩阵？

Is there a way to generate a matrix in R with at least some negative eigenvalues?

r

eigenvalue

correlation