为 N 个单元格的网格找到最佳行和列

Question

我正在尝试创建一个网格，该网格必须有足够的行和列来容纳 length 个单元格。以下是一些示例：

- Length: 8: 2 rows x 4 cols
- Length: 9: 3 rows x 3 cols
- Length: 10: 5 rows x 2 cols
- Length: 11: 4 rows x 3 cols (with one extra)

我想出了一个解决方案，使用平方根，这给了我一个非常接近的解决方案：

var cols = Math.ceil(Math.sqrt(length));
var rows = Math.ceil(length / cols);

可以有额外的单元格（比如素数），但我更愿意尽可能减少它们。这种方法的问题是，当可能有更优化的解决方案时，我得到的是空单元格：

- Length: 8: returns 3 x 3, but 2 x 4 has 0 remainders
- Length: 10: returns 4 x 3, but 5 x 2 has 0 remainders
- Length: 15: returns 4 x 4, but 5 x 3 has 0 remainders

是否有其他方法可以优化我的网格以获得尽可能少的额外单元格？我觉得我的尝试不是最优的。

Answer 1

对于偶数长度m，我们可以很容易地说：

cols = m / 2
rows = 2

对于奇数长度m，我们需要分解m。幸运的是，只需一个 non-trivial（1 或 m）因子就足够了。通过以下算法：

for(var i = 3; i * i < m; i += 2){
    if(m % i == 0)
        return i;
}
return -1;

如果结果为-1，则为质数，因此，最终结果为：

cols = (m+1)/2
rows = 2

否则，如果我们调用因子 k，结果将是：

cols = m / k
row = k

您可以在下面找到最终结果：

function factor(m){
   // if m is even
   if(m % 2 == 0)
       return [2, m/2]   
   for(var i = 3; i * i < m; i += 2){
        // m is odd and not prim
        if(m % i == 0)
            return [i, m/i];
   }
   // m is odd prime
   return [2, (m+1)/2];
} 

console.log(factor(8));
console.log(factor(10));
console.log(factor(11));
console.log(factor(15));

此函数的结果已优化（根据您的定义）。因为非质数的余数为零，而质数的余数为 1。

Answer 2

假设这些数字永远不会大到天文数字，您可以只检查每个数字从平方根开始的拟合程度，并在给定评估函数的情况下跟踪最佳数字，该评估函数既考虑了余数又考虑了方差.所以像：

function optimizeRectangle(N) {
  let bestRectangle = null;
  let best_evaluation = Infinity;

  let start_row = Math.floor(Math.sqrt(N));
  // Maximum aspect ratio of 3:1
  for (let offset = 0; offset < start_row / 2; offset++) {
    let row = start_row - offset;
    let col = Math.ceil(N/row);
    let remainder = row * col - N;
    let evaluation = remainder + offset; // or some other function of remainder and offset
    if (evaluation < best_evaluation) {
      best_evaluation = evaluation;
      best_rectangle = [row, col];
    }
  }
  return best_rectangle;
}

请注意，我实际上并没有运行这段代码，所以如果没有，请将其视为伪代码。

为 N 个单元格的网格找到最佳行和列

Finding optimal rows & columns for grid of N cells

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