如何找到这个递归函数的递归关系？

Question

这里我有一个这样的函数，我想找到它的递归关系，然后计算它的时间复杂度递归关系。

 public static void f(int n) {
    if (n == 1) {
        //" Do sth "
    } else {
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            f(i - 1);
            //" Do sth "
        }
    }
}

实际上我为此尝试了很多，我得到了 T(n) = n * f( n-1)作为关系起作用，但我不确定。你能帮我找到正确的关系并解决吗？

Answer 1

假设 T(1) = "Do sth" 是持续工作，即它不依赖于输入大小 n，您可以将递归时间函数编写为：

T(n) =  T(1) + T(2) + ... + T(n-1)
     =  { T(1) } +  { T(1) } + { T(1) + T(2) } + { T(1) + T(2) + T(3) } + { T(1) + T(2) + T(3) + T(4) } +....

     [let T(1) = x]

     =  x + x + {x + x} + {x + x + (x + x)} + {x + x + (x + x) + x + x + (x + x)} +....

     = x + x + 2x + 4x + 8x + ...

     ~ x.2^(n-2)

     ~ O(2^n)

这里有一个 python 程序来演示求和的系数序列：

t = [0 for i in range(10)]
for i in range(1,10):
  if i == 1:
    t[i] = 1
  else:
    val = 0
    for j in range(1,i):
      val += t[j]
    t[i] = val
print(t[1:])

打印：[1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128]

你可以看到 2^(n-2) 对于 n >= 2 在每个 'n' 上都很好并且复杂度是 O(2ⁿ)

如何找到这个递归函数的递归关系？

How to find recursive relation of this recursive function?

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