如何用Python证明根式是三次多项式的根

Question

给定的多项式是

p = Poly(x**3-x**2-2*x+1, x) # and a root as radical expression:
rt = 1/3 + (-7/2 - 21*sqrt(3)*I/2)**(1/3)/3 + (-7/2 + 21*sqrt(3)*I/2)**(1/3)/3

将根代入多项式得到（简化）：

expr = 7*(-1 - 3*sqrt(3)*I)**(2/3)*(-1 + 3*sqrt(3)*I)**(1/3)/18 - \
7*2**(2/3)*(-7 + 21*sqrt(3)*I)**(1/3)/18 - \
7*2**(2/3)*(-7 - 21*sqrt(3)*I)**(1/3)/18 + \
7*(-1 - 3*sqrt(3)*I)**(1/3)*(-1 + 3*sqrt(3)*I)**(2/3)/18

但无法使 python 显示此表达式为零：

expr == 0 # False

但是：

expr.evalf()  # gives -0.e-131 - 0.e-132*I

Answer 1

这里的问题是浮点精度。方程式中的许多运算都会稍微偏离一点，尤其是对于具有无穷小数的 2/3 或 1/3。这在诸如 How to avoid floating point errors? 之类的答案中进行了解释。为避免此问题，可以使用 round?

将结果截断到特定的小数点内

round(float_num, num_of_decimals)

然后判断是否为零。

您可能想把罐头踢到路上并使用具有更高精度的 Decimal，但我怀疑即使使用它您也不会得到零，其中一些操作只是没有产生小数位数有限的数字，因此某些数量会在某处丢失，您最终会得到非常接近于零但并非如此的结果。

你需要 131 或 132 位小数点精度才能为零吗？

Answer 2

有一个函数minpoly可以计算代数表达式的最小多项式：

In [71]: rt = S(1)/3 + (-S(7)/2 - 21*sqrt(3)*I/2)**(S(1)/3)/3 + (-S(7)/2 + 21*sqrt(3)*I/2)**(S(1)/3)/3

In [72]: rt
Out[72]: 
        _______________       _______________
       ╱   7   21⋅√3⋅ⅈ       ╱   7   21⋅√3⋅ⅈ 
    3 ╱  - ─ - ───────    3 ╱  - ─ + ─────── 
1   ╲╱     2      2       ╲╱     2      2    
─ + ─────────────────── + ───────────────────
3            3                     3         

In [73]: minpoly(rt)
Out[73]: 
 3    2          
x  - x  - 2⋅x + 1

这表明这是您显示的多项式的根。一般来说 r 是多项式的根 p 然后 minpoly(r) 是除以 p.

的多项式

我们也可以用minpoly来证明将根代入多项式后的表达式为零：

In [74]: p = x**3-x**2-2*x+1

In [75]: p.subs(x, rt)
Out[75]: 
                                                                           2                                                  3 
          _______________   ⎛        _______________       _______________⎞    ⎛        _______________       _______________⎞  
         ╱   7   21⋅√3⋅ⅈ    ⎜       ╱   7   21⋅√3⋅ⅈ       ╱   7   21⋅√3⋅ⅈ ⎟    ⎜       ╱   7   21⋅√3⋅ⅈ       ╱   7   21⋅√3⋅ⅈ ⎟  
    2⋅3 ╱  - ─ + ───────    ⎜    3 ╱  - ─ - ───────    3 ╱  - ─ + ─────── ⎟    ⎜    3 ╱  - ─ - ───────    3 ╱  - ─ + ─────── ⎟  
1     ╲╱     2      2       ⎜1   ╲╱     2      2       ╲╱     2      2    ⎟    ⎜1   ╲╱     2      2       ╲╱     2      2    ⎟  
─ - ───────────────────── - ⎜─ + ─────────────────── + ───────────────────⎟  + ⎜─ + ─────────────────── + ───────────────────⎟  
3             3             ⎝3            3                     3         ⎠    ⎝3            3                     3         ⎠  

                       
        _______________
       ╱   7   21⋅√3⋅ⅈ 
  2⋅3 ╱  - ─ - ─────── 
    ╲╱     2      2    
- ─────────────────────
            3          

In [76]: minpoly(p.subs(x, rt))
Out[76]: x

这里的最小多项式是x，其唯一的根是零。

https://en.wikipedia.org/wiki/Minimal_polynomial_(field_theory) https://docs.sympy.org/latest/modules/polys/reference.html#sympy.polys.numberfields.minpoly

如何用Python证明根式是三次多项式的根

How to use Python to prove that a radical expression is the root of a cubic polynomial

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