如何在 C++ 中表示线段的向量方程？

Question

我正在使用计算机图形学。

我想表示一条有两个端点的线，然后我希望我的 Line2d class 有一个 returns a Vector2d 的方法对象。

假设，我有以下 classes:

struct Point2d
{
    int x;
    int y;
};

然后，我可以很容易地用两个点表示一条线段：

class LineSegment2d
{
private:
    Point2d start;
    Point2d end;
public:
    ...
    ...
};

根据定义，矢量由大小和方向组成。

class Vector2d
{
private:
    Point2d p;
public:
    double Magnitude(void);
    Point Component(void);
    Vector2d Normal();
    Vector2d & Add(Vector & rhs);
    Vector2d & Subtract(Vector & rhs);
    Vector2d & Multiply(int scalar);
    int DotProduct(Vector2d rhs);
    Vector2d & CrossProduct(Vector2d rhs);
};

Point2d的一个对象足以表示一个向量。例如，向量的大小 = sqrt(p.x*p.x + p.y*p.y);。并且，p.x和p.y共同代表方向。

另一方面，我们知道通过 (x0,y0,z0) 的直线的向量方程是 r =r0 + tv 在哪里， r 是主题行的向量。 r0是一个位置向量，指向(x0, y0, z0)点的方向。由于 r0 是一个位置向量，显然，r0 的原点是 (0,0,0)。 t 是任何实数值，其中，−∞<t<∞ –。 v 是平行于我们主题直线的向量。

点P(1, 3, 2)和Q(-4, 3, 0)之间的线段向量方程：

根据上式，直线PQ的向量方程可以是

r =<1,3,2> + tv

或者，

r =<-4,3,0> + tv

连接 P 和 Q 两点的向量是

PQ  = <(-4-1), (3-3), (0-2)>
    = <-5, 0, -2>

而且，这个向量肯定与我们的主题行平行。

所以，我们可以写，

r   =<1, 3, 2> + t <-5, 0, -2>
    =<1, 3, 2>+<-5t, 0, -2t>
    = <(1-5t), (3+0), (2-2t)>
    =<1-5t, 3, 2-2t>

根据线段的向量方程，我想，我的向量class应该是这样的：

class LineVector2d
{
private:
    Vector2d v;
    double t;
public:
    ..........
};

这是正确的表述吗？

如果是这样，我如何calculate/set/find t 的值？

Answer 1

有many forms of line representation个。

如果您指的是线（不是线段），那么您可能会发现使用包含 BasePoint 和 UnitDirectionVector 的 class/structure 更方便。

对于线段，选择 (Point pt0, Point pt1) 形式和 (Point pt, Vector v = pt1 - pt0) 形式。

第二个更适合参数化方法，例如， X = P0.X + t * D.X等

Answer 2

如果要将线段转换为向量，您必须知道转换没有 "universal semantic"，由您定义转换的含义。也就是说，我假设您想要一个与线段长度具有相同（欧几里得）范数并指向相同方向的向量，即像这样的东西：

class LineSegment2d
{
   ....
   Vector2d getVector() const {
      return Vector2d(end) - Vector2d(start);
   }
};

也就是说，将线段偏移到坐标系的原点。然后可以将终点转换为向量。

编辑：在进一步了解您想要这个的原因后，您可能正在寻找另一种表示形式

class LineSegment2d
{
   ....
   Vector2d getVector() const {
      return Vector2d(end);
   }
};

这将为每条线段提供一个向量：终点。如果您的多边形由连接的线段组成，这将为您提供多边形中的所有顶点。

Answer 3

使用问题中的线段表示。

我将为起点 a 和终点 b 的线段写 LS(a,b)。

现在给定两个这样的段 LS(a,b)，并且 LS(c,d) 相交（在您的上下文中，一个来自裁剪多边形，一个来自被裁剪的多边形；我假设您知道如何确定这个）。

您似乎想要回答的是，如果这个交点 LS(c,d) 在穿过边 LS(a,b) 时进入多边形的内部。

为此，确定线段方向之间的角度就足够了。这与向量 v = b-a 和 w = d-c 之间的角度相同。

还有，你连角度都不需要，看角度是正还是负就可以了；所以看看向量 w-v。如果 LS(c,d) 穿过 LS(a,b) 到里面，这个向量将在下半平面。如果 LS(c,d) 穿过 LS(a,b) 到外面，这个向量将在上半平面。

判断上半平面和下半平面就是看end-start的第二个坐标。

对文字墙深表歉意，但 mathjax 在此站点上似乎并不活跃。也没有代码，但我相信（如果我没有犯任何错误）我提到的所有操作都很容易转化为代码。

Answer 4

如果你想变得非常数学，也许这可以帮助：https://en.wikipedia.org/wiki/Homogeneous_coordinates

在 2d 中，这意味着位置是 (x,y,1) 和方向 (dx,dy,0)。原因是投影，这在 2d 中很少见，但在 3d 中很常见。

所以尝试回答：一直使用 4 个分量向量。位置有一个 w=1，方向有一个 w=0.

试一试基于两点 A 和 B 的直线，它们的 w=1。从A到B的向量是B-A，最后w=0.

此外，您在代码中使用的内容也无关紧要，除非您最终优化了一个特殊情况。只需要最小的数据结构。开始和结束应该没问题。

也许考虑索引：所有顶点的平面数组，每行只是顶点数组的两个索引。

Answer 5

我认为由于以下原因有些混乱

According to the definition, a vector is composed of a magnitude and a direction.

表示向量的方法不止一种。我认为在你的问题中你的意思是一个向量可以用一个幅度（标量）和一个表示方向的单位向量来表示。一个向量可以只是一个有序的三元组（对于三维），它指示大小（sqrt(x^2 + y^2 + z^2)）和从原点的方向。

我想你的问题的答案是，你不需要计算t。如果我弄错了请纠正我，但我认为您将 t 解释为震级？您可以使用 sqrt(x^2 + y^2 + z^2) 从 v 计算，但是 v 本身可以将大小和方向作为有序的三元组保存。

编辑：

template <typename T>
struct Point2d
{
    T x;
    T y;

    Point2d operator + (const Point2d<T>& rhs) const
    {
        return Point2d<T>{x + rhs.x, y + rhs.y};
    }
    Point2d operator - (const Point2d<T>& rhs) const
    {
        return Point2d<T>{x - rhs.x, y - rhs.y};
    }
    // ...

    Point2d operator * (const T value) const
    {
        return Point2d<T>{x*value, y*value};
    }
    Point2d operator / (const T value) const
    {
        return Point2d<T>{x/value, y/value};
    }
    // ...
};

template <typename T>
class Vector2d
{
private:
    Point2d<T> p;
public:
    Vector2d(const Point2d<T>& point) : p{point} {}

    /*double Magnitude();
    Point2d<T> Component();
    Vector2d Normal();
    int DotProduct(Vector2d rhs);
    Vector2d& CrossProduct(Vector2d rhs);*/

    Vector2d operator + (const Vector2d<T>& rhs) const
    {
        return p + rhs.p;
    }
    Vector2d operator - (const Vector2d<T>& rhs) const
    {
        return p - rhs.p;
    }
    // ...

    Vector2d operator * (const T value) const
    {
        return p*value;
    }
    Vector2d operator / (const T value) const
    {
        return p/value;
    }
    // ...
};

template <typename T>
class LineVector2d
{
private:
    Point2d<T>  p;
    Vector2d<T> v;

public:
    LineVector2d() = default;
    LineVector2d(const Point2d<T>& point, const Vector2d<T>& direction) : p{point}, v{direction} {}

    /// Returns the point on the line for the time/value `t`
    Point2d<T> valueAt(T t)
    {
        return p + v*t;
    }
};

Answer 6

您对 class LineSegment2d 的描述很好。但是 class Vector2d 的表示是不正确的。这是因为您只考虑那些通过原点的向量。 2d 平面上的矢量可以用 3 个分量表示，就像在 3d space 中一样。矢量的 3 个分量是：方向、大小和它经过的点。如果我们为 3d space 定义 x、y 和 z 轴，那么对于 x-y 平面中的一个点，z 分量等于 0。此外，3d space 中的方向以方向的形式定义余弦（即向量和轴之间夹角的余弦）。因此，对于 x-y 平面中的矢量，矢量与 z 轴之间夹角的余弦值等于零（因为角度 = 90 度）。

如何在 C++ 中表示线段的向量方程？

How can I represent a vector equation of a line segment in C++?

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