将点限制为圆周上的弧

Question

这个问题有点具体。为简单起见，假设我有一个单位圆，即以原点 (0,0) 为中心、半径为 1 的圆。在这个圆上我有三个点：A、B 和 C。假设 B 和 C 是固定的，并且A可以沿着圆的圆周移动。

问题：我可以有效地检查什么条件来确保A不被移动到B和C之间原来包含它的圆弧之外？

澄清一点：我不只是想检测点是否在这条弧上（即，得到一个布尔值），而是要有一个可量化的度量（例如，距离）所以我可以防止它被移到外面。你可以想象我的设置是这样的，将 A 点限制在红色圆弧内：

以下是我目前考虑过的一些想法，但 none 成功了：

将 A = [cos(alpha),sin(alpha)] 的角度 alpha 限制为 B=[cos(beta),sin(beta)] 和 C=[ 的角度 beta 和 gamma 之间的原点cos(gamma),sin(gamma)]，其中 alpha、beta 和 gamma 是以弧度为单位的角度。不幸的是，这种天真的案例只适用于上面的场景 (a)。如果 A 被限制到的弧线从 +pi/-pi 穿过（在我的例子中是西方的）不连续点，一个朴素的上限和下限是行不通的。
计算 A 到 B 和 A 到 C 之间的弧长，然后确保随着 A 的移动，这个总和不会改变。不幸的是，我只找到 this solution 来计算两点之间的弧，而且它总是计算较短的弧。然而，在场景 (c) 中，正确的弧线 A 到 B 是较大的弧线。

Answer 1

给定圆上的任意两个点，在您的例子中 B 和 C，当然有两条可能的弧。我们在两个选项之间使用 A 到 select。你说你想阻止一个点，比如 D，移动到这个弧线之外。我将其解释为我们想要一个函数，如果 D 位于 BC 和 A、returns D 定义的弧上，否则它 returns B 或 C，取决于哪个更接近 D。

我们可以定义如下函数来实现这个方案：

def contstrainPoint(A, B, C, D)
  M = midpoint(B, C)
  If dot(MA, MD) >= 0 
    return D
  else if(dot(MB, MD) >= 0 
    return B
  else
    return C

其中M是和弦的中点BC，dot是点积函数。

Answer 2

取叉积(A-B)x(A-C)。这将有一个非零分量，垂直于平面。该分量将平滑变化，当 A 在一个弧上时为正，在另一弧上时为负，当它穿过 B 或 C.

将点限制为圆周上的弧

Restricting a point to an arc on a circle's circumference

math

geometry