如何在 Coq 中定义非空集？
How to define non-empty set in Coq?
在学习了很多教程之后尝试创建我的第一个 Coq 定义。想知道如何定义像字母表这样简单的东西，如果定义是：
Σ is an alphabet iff it's a finite nonempty set of symbols.
得到这么多：
Require Import Coq.Lists.ListSet.
Definition alphabet := set.
但是如何指定 "must be a finite, non-empty set" 部分？
由于您选择 alphabet 为 set，因此根据定义它是有限的，因为 set 被定义为 list 的实例，并且归纳类型是总是有限的。
您正在使用的 ListSet 库定义了 emptyset，因此您的第一个选择是说明
Definition not_empty (a: alphabet) : Prop := a <> empty_set.
或者您可以依赖这样一个事实，即您的集合是 list 并且在表达式上进行模式匹配：
Definition not_empty (a: alphabet) : bool := match a with
| nil => false
| _ => true
end.
（您也可以使用 False 和 True 在 Prop 而不是 bool 中定义后者。）
编辑：Arthur 要求的一些说明（此处简化，如果你想要更精确的解释，请拿一本关于归纳类型的真正教科书）：
归纳型可以居住：
- 有限数量的元素（例如，
bool），
- 无限数量的元素（例如，
nat）
- 根本没有元素（例如
False）。
但是，归纳类型的任何元素在结构上都是有限的。例如，您可以通过构造函数 S 的有限次数来编写任何自然数，但是您 必须 在某些时候使用 O 并且 ''stop'' 术语的结构。列表也是如此：您可以构建任意长列表，但其长度始终是有限的。
在学习了很多教程之后尝试创建我的第一个 Coq 定义。想知道如何定义像字母表这样简单的东西，如果定义是：
Σ is an alphabet iff it's a finite nonempty set of symbols.
得到这么多：
Require Import Coq.Lists.ListSet.
Definition alphabet := set.
但是如何指定 "must be a finite, non-empty set" 部分？
由于您选择 alphabet 为 set，因此根据定义它是有限的，因为 set 被定义为 list 的实例，并且归纳类型是总是有限的。
您正在使用的 ListSet 库定义了 emptyset，因此您的第一个选择是说明
Definition not_empty (a: alphabet) : Prop := a <> empty_set.
或者您可以依赖这样一个事实，即您的集合是 list 并且在表达式上进行模式匹配：
Definition not_empty (a: alphabet) : bool := match a with
| nil => false
| _ => true
end.
（您也可以使用 False 和 True 在 Prop 而不是 bool 中定义后者。）
编辑：Arthur 要求的一些说明（此处简化，如果你想要更精确的解释，请拿一本关于归纳类型的真正教科书）：
归纳型可以居住：
- 有限数量的元素（例如，
bool）， - 无限数量的元素（例如，
nat） - 根本没有元素（例如
False）。
但是，归纳类型的任何元素在结构上都是有限的。例如，您可以通过构造函数 S 的有限次数来编写任何自然数，但是您 必须 在某些时候使用 O 并且 ''stop'' 术语的结构。列表也是如此：您可以构建任意长列表，但其长度始终是有限的。