numpy 中外积的平均值和平均值的外积？

Question

我有两个随时间变化的 3d 列向量 B_mu 和 B_nu：

import numpy as np
N = 5 # 5 time-steps

B_mu = np.array(
      [[5, 5, 8],
       [4, 8, 7],
       [2, 3, 1],
       [5, 7, 8],
       [6, 2, 7]]
)
B_nu = np.array(
      [[3, 2, 9],
       [9, 8, 8],
       [4, 9, 9],
       [4, 9, 6],
       [1, 9, 1]]
)

对于第一个向量中的每个索引 i 和第二个向量中的每个索引 j，我想计算 time-average 之间的差异< B_mu[i] B_nu[j] > 和 time-average 的乘积 .

换句话说，我想构造矩阵 M 这样：

M[i,j] = 1/N sum(B_mu[i] * B_nu[j]) - 1/N**2 * sum(B_mu[i]) * sum(B_nu[j])

其中总和取自时间参数。

公式如下：

还有一个明确的扩展版本：

如何在 python 中表达这个等式？

Answer 1

使用模块 numpy 操作矩阵相对容易。我们在这里寻找：

对一维（时间）进行平均（或求和）；
取两个列向量的outer product。

我们将使用：

method array.sum 使用可选的 axis 参数对时间维度求和；
function outer.

这两个函数直接结合起来计算平均值的乘积。另一方面，产品的平均值可以直接使用 python 内置 sum 和 map 进行计算；我不知道如何在纯 numpy 中做到这一点。

import numpy as np

def diff_avgprod_prodavg(B_mu, B_nu):
    N = B_mu.shape[0]
    avg_of_prod = 1/N * sum(map(np.outer, B_mu, B_nu)) # not pure numpy
    prod_of_avg = 1/(N*N) * np.outer(B_mu.sum(axis=0), B_nu.sum(axis=0))
    return avg_of_prod - prod_of_avg

测试：

B_mu = np.array(
      [[5, 5, 8],
       [4, 8, 7],
       [2, 3, 1],
       [5, 7, 8],
       [6, 2, 7]]
)
B_nu = np.array(
      [[3, 2, 9],
       [9, 8, 8],
       [4, 9, 9],
       [4, 9, 6],
       [1, 9, 1]]
)

print( diff_avgprod_prodavg(B_mu, B_nu) )
# [[-1.48 -0.76 -2.84]
#  [ 4.8  -0.6   3.  ]
#  [-0.04 -2.68 -2.52]]

print( diff_avgprod_prodavg(B_mu, B_mu) )
# [[1.84 0.   3.12]
#  [0.   5.2  2.8 ]
#  [3.12 2.8  6.96]]

print( diff_avgprod_prodavg(B_nu, B_nu) )
# [[ 6.96  0.72  4.28]
#  [ 0.72  7.44 -3.64]
#  [ 4.28 -3.64  9.04]]

numpy 中外积的平均值和平均值的外积？

Outer product of average and average of outer product in numpy?

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