在 C# 中使用 Y 组合器

Question

我正在尝试找出如何在一行中编写递归函数（例如阶乘，尽管我的函数要复杂得多）。为此，我想到了使用 Lambda Calculus' Y combinator.

这是第一个定义：

Y = λf.(λx.f(x x))(λx.f(x x))

这是简化的定义：

Y g = g(Y g)

我试图用 C# 编写它们，如下所示：

// Original
Lambda Y = f => (new Lambda(x => f(x(x)))(new Lambda(x => f(x(x)))));
// Reduced
Lambda Y = null; Y = g => g(Y(g));

（Lambda 是一个 Func<dynamic, dynamic>。我首先尝试用 using 对它进行类型定义，但是 that didn't work，所以现在它是用 delegate dynamic Lambda(dynamic arg); 定义的）

我的阶乘 lambda 看起来像这样（改编自 here）：

Lambda factorial = f => new Lambda(n =>  n == 1 ? 1 : n * f(n - 1));

我这样称呼它：

int result = (int)(Y(factorial))(5);

然而，在这两种情况下（Y 组合器的原始形式和简化形式），我都以堆栈溢出异常结束。从我使用简化形式可以推测的情况来看，它似乎只是结束调用 Y(factorial(Y(factorial(Y(factorial(... 而实际上从未结束 entering 阶乘 lambda。

由于我没有太多调试 C# lambda 表达式的经验而且我当然不太了解 lambda 演算，所以我真的不知道发生了什么或如何修复它。

以防万一，这个问题的灵感来自试图用 C# 编写的单行答案。

我的解决方案如下：

static IEnumerable<string> AllSubstrings(string input)
{
    return (from i in Enumerable.Range(0, input.Length)
            from j in Enumerable.Range(1, input.Length - i)
            select input.Substring(i, j))
            .SelectMany(substr => getPermutations(substr, substr.Length));
}
static IEnumerable<string> getPermutations(string input, int length)
{
    return length == 1 ? input.Select(ch => ch.ToString()) :
        getPermutations(input, length - 1).SelectMany(
            perm => input.Where(elem => !perm.Contains(elem)),
            (str1, str2) => str1 + str2);
}
// Call like this:
string[] result = AllSubstrings("abcd").ToArray();

我的目标是将 getPermutations 编写为单行自递归 lambda，这样我就可以将它插入到 AllSubstrings 中的 SelectMany 中，并生成一个单行输出AllSubstrings.

我的问题如下：

在 C# 中可以使用 Y 组合器吗？如果是这样，我在实施中做错了什么？
如果 Y 组合子在 C# 中是可能的，我将如何使我对子字符串问题（AllSubstrings 函数）的解决方案成为单行代码？
无论 Y 组合子是否 not 在 C# 中是可能的，是否有任何其他编程方法允许单行 AllSubstrings？

Answer 1

这是我在 c# 中使用的 Y 组合器的实现：

public delegate T S<T>(S<T> s);

public static T U<T>(S<T> s)
{
    return s(s);
}

public static Func<A, Z> Y<A, Z>(Func<Func<A, Z>, Func<A, Z>> f)
{
    return U<Func<A, Z>>(r => a => f(U(r))(a));
}

我可以这样使用它：

var fact = Y<int, int>(_ => x => x == 0 ? 1 : x * _(x - 1));
var fibo = Y<int, int>(_ => x => x <= 1 ? 1 : _(x - 1) + _(x - 2));

这真的让我感到害怕，所以我将把你问题的下两部分留给你，以此为起点。

我已经破解了这个函数。

这里是：

var allsubstrings =
    Y<string, IEnumerable<string>>
        (_ => x => x.Length == 1
            ? new [] { x }
            : Enumerable
                .Range(0, x.Length)
                .SelectMany(i =>
                    _(x.Remove(i, 1))
                    .SelectMany(z => new [] { x.Substring(i, 1) + z, z }))
                .Distinct());

当然，你运行它是这样的：

allsubstrings("abcd");

我从中得到这个结果：

abcd 
bcd 
acd 
cd 
abd 
bd 
ad 
d 
abdc 
bdc 
adc 
dc 
abc 
bc 
ac 
c 
acbd 
cbd 
acdb 
cdb 
adb 
db 
acb 
cb 
ab 
b 
adbc 
dbc 
adcb 
dcb 
bacd 
bad 
badc 
bac 
bcad 
cad 
bcda 
cda 
bda 
da 
bca 
ca 
ba 
a 
bdac 
dac 
bdca 
dca 
cabd 
cadb 
cab 
cbad 
cbda 
cba 
cdab 
dab 
cdba 
dba 
dabc 
dacb 
dbac 
dbca 
dcab 
dcba

你的问题中的非 Y-Combinator 代码似乎遗漏了一堆排列。

在 C# 中使用 Y 组合器

Using the Y Combinator in C#

c#

lambda

functional-programming

function

y-combinator