卡尔曼滤波器（一维）：几种方法？
Kalman filter (one-dimensional): several approaches?
我试图了解卡尔曼滤波器的工作原理，但由于多维变体一开始太令人困惑，所以我从一个一维示例开始。
我找到了 3 个不同的来源来解释温度计的场景，但所有这些场景实现的方程略有不同，我不明白这一点。
我实施了解决方案 2，但我的卡尔曼滤波器并没有真正发挥作用（它高度适应了测量结果，并没有真正考虑到它的噪声）。
所以，在我浪费更多时间尝试解决方案 1 或 3（到目前为止我刚刚阅读）之前：有人可以提供一个清晰的解释 and/or 一维卡尔曼代码示例过滤器?
解决方案 1
// x_est: current estimate; p: current estimate error;
// a: constant of the system; kg: kalman gain
// z: current observation;
// Predict
x_est = a * x_est
p = a * p * a
// Update
kg = p / (p + r)
x_est = x_est + kg * (z - x_est)
p = (1 - kg) * p
作者（此处）仅说明我们仅更改当前值，因为温度计无需考虑上次值。
所以他简化了：
p[k] = (1 - kg) * p[k-1] 到 p = (1 - kg) * p
x_est[k] = x_est[k-1] + kg * (z - x_est[k-1]) 到 x_est = x_est + kg * (z - x_est)
...等等...
我不明白为什么这是可能的。我认为卡尔曼滤波器的主要部分之一是考虑当前观察 z 是否有用（通过卡尔曼增益）。因此，对于高卡尔曼增益 kg * (z - x_est[k-1])，将增量 z - x_est[k-1] 的 "big chunk" 添加到新估计中。如果总是计算当前值，这整个事情不是变得毫无意义吗？
解决方案 2
# q: process variance / process noise
# r: error in measurement
x_est = x_est
p = p + q;
k = p / (p + r);
x_est = x_est + k * (z – x_est);
p = (1 – k) * p;
这倒是差不多，但是作者连为什么x[k-1]和p[k-1]都没有解释 可以更改为 x 和 p.
解决方案 3
# Q: process variance / process noise
# R: error in measurement
# prediction
x_est_kminus1[k] = x_est[k - 1]
p_kminus1[k] = p[k - 1] + Q
# update
kg[k] = p_kminus1[k] / (p_kminus1[k] + R)
x_est[k] = x_est_kminus1[k] + kg[k] * (z[k] - x_est_kminus1[k])
p[k] = (1 - kg[k]) * p_kminus1[k]
在此解决方案中，作者为 x_est（x_est 本身和 x_est_kminus1）和 p（p 本身和 p_kminus1).
是否需要两个列表，否则 p[k] 将被计算两次（在预测和更新步骤中）？
所有这些解都是一般方程的特例，我们必须看看每个解有什么特别之处。
正确的方程式
让我们从适合一维情况的一般方程开始：
# prediction
x[k] = a * x[k - 1]
p[k] = a * p[k - 1] * a + q
# update
y = z - h * x[k]
kg = p * h / (h * p * h + r)
x[k] = x[k] + kg * y
p[k] = (1 - kg * h) * p[k]
x - 状态p - 误差（协方差）a - 状态转换q - 转换错误z - 测量h - 状态到测量的转换y - 我们根据预测预期测量的结果与实际测量结果之间的差异kg - 卡尔曼增益r - 测量误差
模型的所有参数（a、q、r、h）原则上也可以有一个索引 k 和随着系统的发展而变化。但在简单的情况下，它们都可以作为常数。
解与正确方程有何不同
只有解决方案 1 实现了 a，这很好。 a 告诉您状态如何从一个步骤变为另一个步骤，如果您假设温度是固定的，那么 a == 1，就像解决方案 2 和 3 一样。
解决方案 1 没有 q。 q 是我们可以估计过程误差的地方。同样，如果该过程是关于系统静止的 (a == 1)，那么我们可以设置 q = 0.
None 你的解决方案有一个 h，这是观察转换（如何从测量到状态）。如果您要根据温度测量值估算温度，则 h = 1。
h 可能与 1 不同的一个例子是，如果您测量的是您感兴趣的其他东西，例如使用湿度测量来估计温度。那么 h 将是 线性 变换 T(humidity) = h * humidity。我强调线性是因为以上是线性卡尔曼滤波方程，它们只适用于线性（数学意义上的）系统。
当前和上一步问题
k 与 k - 1 以及 x_est 和 x_est_kminus1 的问题纯粹是一个实现问题。在这方面你所有的解决方案都是一样的。
您对解决方案 1 中 k 和 k - 1 的想法是错误的。只有预测阶段需要考虑当前和上一步（因为它是基于上一步对当前状态的预测），而不是更新步骤。更新步骤作用于预测。
从可读性的角度来看，解决方案 3 最接近数学方程式。原则上，预测步骤还没有给我们 x_est[k]，但更像是 predicted_x_est[k]。然后更新步骤在此 predicted_x_est[k] 上运行并为我们提供实际的 x_est[k].
然而正如我所说，所有实现都是等效的，因为在对它们进行编程时，您可以看到在预测步骤之后，不再需要过去。因此，您可以安全地为 p 和 x 使用一个变量，而无需保留列表。
关于卡尔曼增益
您写道：
So that for a high Kalman gain kg * (z - x_est[k-1]) a "big chunk" of
the delta z - x_est[k-1] is added to the new estimate. Isn't this whole
thing getting pointless, if one always calculates the current values?
在这些情况下，卡尔曼增益只能在0和1之间。什么时候最大？当 r（测量误差）为 0 时，这意味着我们无限信任我们的测量。然后等式简化为
x_est = x_est + z - x_est
这意味着我们放弃了我们的预测值（右侧的 x_est）并将更新后的估计值设置为等于我们的测量值。当我们无限相信我们测量的东西时，这是一件有效的事情。
适应测量
I implemented solution 2 but my kalman filter was not really working (it
highly adapted itself to the measurements and not really considered the
noise on it).
调整卡尔曼滤波器非常棘手，需要深入了解系统并正确估计 q 和 r。请记住，q 是过程（状态演化）的误差，r 是我们测量的误差。如果您的卡尔曼滤波器过于适应测量结果，则意味着：
q 太大r太小了
或两者的结合。您必须尝试使用这些值才能找到有效的值。
我试图了解卡尔曼滤波器的工作原理，但由于多维变体一开始太令人困惑，所以我从一个一维示例开始。
我找到了 3 个不同的来源来解释温度计的场景，但所有这些场景实现的方程略有不同，我不明白这一点。
我实施了解决方案 2，但我的卡尔曼滤波器并没有真正发挥作用（它高度适应了测量结果，并没有真正考虑到它的噪声）。
所以，在我浪费更多时间尝试解决方案 1 或 3（到目前为止我刚刚阅读）之前：有人可以提供一个清晰的解释 and/or 一维卡尔曼代码示例过滤器?
解决方案 1
// x_est: current estimate; p: current estimate error;
// a: constant of the system; kg: kalman gain
// z: current observation;
// Predict
x_est = a * x_est
p = a * p * a
// Update
kg = p / (p + r)
x_est = x_est + kg * (z - x_est)
p = (1 - kg) * p
作者（此处）仅说明我们仅更改当前值，因为温度计无需考虑上次值。
所以他简化了：
p[k] = (1 - kg) * p[k-1] 到 p = (1 - kg) * p
x_est[k] = x_est[k-1] + kg * (z - x_est[k-1]) 到 x_est = x_est + kg * (z - x_est)
...等等...
我不明白为什么这是可能的。我认为卡尔曼滤波器的主要部分之一是考虑当前观察 z 是否有用（通过卡尔曼增益）。因此，对于高卡尔曼增益 kg * (z - x_est[k-1])，将增量 z - x_est[k-1] 的 "big chunk" 添加到新估计中。如果总是计算当前值，这整个事情不是变得毫无意义吗？
解决方案 2
# q: process variance / process noise
# r: error in measurement
x_est = x_est
p = p + q;
k = p / (p + r);
x_est = x_est + k * (z – x_est);
p = (1 – k) * p;
这倒是差不多，但是作者连为什么x[k-1]和p[k-1]都没有解释 可以更改为 x 和 p.
解决方案 3
# Q: process variance / process noise
# R: error in measurement
# prediction
x_est_kminus1[k] = x_est[k - 1]
p_kminus1[k] = p[k - 1] + Q
# update
kg[k] = p_kminus1[k] / (p_kminus1[k] + R)
x_est[k] = x_est_kminus1[k] + kg[k] * (z[k] - x_est_kminus1[k])
p[k] = (1 - kg[k]) * p_kminus1[k]
在此解决方案中，作者为 x_est（x_est 本身和 x_est_kminus1）和 p（p 本身和 p_kminus1).
是否需要两个列表，否则 p[k] 将被计算两次（在预测和更新步骤中）？
所有这些解都是一般方程的特例，我们必须看看每个解有什么特别之处。
正确的方程式
让我们从适合一维情况的一般方程开始：
# prediction
x[k] = a * x[k - 1]
p[k] = a * p[k - 1] * a + q
# update
y = z - h * x[k]
kg = p * h / (h * p * h + r)
x[k] = x[k] + kg * y
p[k] = (1 - kg * h) * p[k]
x- 状态p- 误差（协方差）a- 状态转换q- 转换错误z- 测量h- 状态到测量的转换y- 我们根据预测预期测量的结果与实际测量结果之间的差异kg- 卡尔曼增益r- 测量误差
模型的所有参数（a、q、r、h）原则上也可以有一个索引 k 和随着系统的发展而变化。但在简单的情况下，它们都可以作为常数。
解与正确方程有何不同
只有解决方案 1 实现了 a，这很好。 a 告诉您状态如何从一个步骤变为另一个步骤，如果您假设温度是固定的，那么 a == 1，就像解决方案 2 和 3 一样。
解决方案 1 没有 q。 q 是我们可以估计过程误差的地方。同样，如果该过程是关于系统静止的 (a == 1)，那么我们可以设置 q = 0.
None 你的解决方案有一个 h，这是观察转换（如何从测量到状态）。如果您要根据温度测量值估算温度，则 h = 1。
h 可能与 1 不同的一个例子是，如果您测量的是您感兴趣的其他东西，例如使用湿度测量来估计温度。那么 h 将是 线性 变换 T(humidity) = h * humidity。我强调线性是因为以上是线性卡尔曼滤波方程，它们只适用于线性（数学意义上的）系统。
当前和上一步问题
k 与 k - 1 以及 x_est 和 x_est_kminus1 的问题纯粹是一个实现问题。在这方面你所有的解决方案都是一样的。
您对解决方案 1 中 k 和 k - 1 的想法是错误的。只有预测阶段需要考虑当前和上一步（因为它是基于上一步对当前状态的预测），而不是更新步骤。更新步骤作用于预测。
从可读性的角度来看，解决方案 3 最接近数学方程式。原则上，预测步骤还没有给我们 x_est[k]，但更像是 predicted_x_est[k]。然后更新步骤在此 predicted_x_est[k] 上运行并为我们提供实际的 x_est[k].
然而正如我所说，所有实现都是等效的，因为在对它们进行编程时，您可以看到在预测步骤之后，不再需要过去。因此，您可以安全地为 p 和 x 使用一个变量，而无需保留列表。
关于卡尔曼增益
您写道：
So that for a high Kalman gain kg * (z - x_est[k-1]) a "big chunk" of the delta z - x_est[k-1] is added to the new estimate. Isn't this whole thing getting pointless, if one always calculates the current values?
在这些情况下，卡尔曼增益只能在0和1之间。什么时候最大？当 r（测量误差）为 0 时，这意味着我们无限信任我们的测量。然后等式简化为
x_est = x_est + z - x_est
这意味着我们放弃了我们的预测值（右侧的 x_est）并将更新后的估计值设置为等于我们的测量值。当我们无限相信我们测量的东西时，这是一件有效的事情。
适应测量
I implemented solution 2 but my kalman filter was not really working (it highly adapted itself to the measurements and not really considered the noise on it).
调整卡尔曼滤波器非常棘手，需要深入了解系统并正确估计 q 和 r。请记住，q 是过程（状态演化）的误差，r 是我们测量的误差。如果您的卡尔曼滤波器过于适应测量结果，则意味着：
q太大r太小了
或两者的结合。您必须尝试使用这些值才能找到有效的值。